角平分线的四大模型(Word版)

角平分线四大模型

模型一:角平分线上的点向两边作垂线

如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.

模型分析:利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。

例1:(1)如图①,在△ABC,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到AB的距离是___cm

(2)如图②,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC.

练习1 如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC. 求证:∠BAD+∠C=180°

练习2 如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=( )

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

模型二:截取构造对称全等

如图,P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB △OPA.

模型分析:利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。

例2:(1)如图①所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.

(2)如图②所示.AD是△ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较PC -PB与AC-AB的大小,并说明理由.

练习 3 已知:△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,AC=16,AD=8,求线段BC的长。

练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于D,求证:BC=AB+CD.

练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证:BC=AB+CE.

模型三:角平分线+垂线构造等腰三角形

如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于P点,延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。

模型分析:构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。 例3:如图所示,已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB =AC,BD平分∠ABC, CE⊥BD,垂足为点E,求证:BD=2CE.

练习6 如图,在△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,AD⊥BE,垂足为D,求证:∠2=∠1+∠C。

练习7 如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,BE⊥AD于E,求证:BE= (AC?AB).

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