第六届华杯赛决赛二试试题
1．
是四位数，a,b,c,d均代表l，2，3，4中的某个数字，但彼此下同，例如2134。
来.
请写出所有满足关系：a＜b，b＞c，c＜d的四位数
2．在1997行和l997列的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮，按钮每按—次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变—次状态，即由亮变不亮，不亮变亮。如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
3． A，B两地相距l05千米，甲、乙二骑车人分别从A，B两地同时相向出发，甲速度为每小时40千米，出发后l小时45分钟相遇，与乙在M地相遇，然后继续 沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车来的丙在N地相遇，而丙在C地追及上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的 车速，二人同时分别从A，B出发，则甲、乙二人在C点相遇。问丙的车速是多少?
4． 圆周上放有N枚棋子，如右图所示，B点的—枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的l枚棋予，然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次 越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。著N是l4的倍数，请帮肋小洪精确计算—下圆周上还有多少枚棋子?
5．八个学生8道问题。
(a)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。
(b)如果每道题只有4个学生解出，那么(a)的结论一般不成立。试构造一个例子说明这点。 6．长边和短边的比例是2∶1的长方形称为基本长方形。用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个长方形之间：(1)没有重叠部分；(2)没有空隙。试用短边互不相同且最小短边为1的五个基本长方形拼接一个更大的长方形，若短边，我们将大长方形记为(
，
，
，
，
，分别为5个
)。 例如(1，2，5，6，12)就可以拼
成一个长方形(见示意图，图中数字是所在长方形短边之长)，是 一个解答。请尽可能多地写出其它的解答(不必画图)。注意：示意图是用解答中5个基本长方形拼成的一个长方形的拼图方法，存在其它拼图方式，但只要五个基 本长方形相同则认为是同一解答。
参考答案
1.【解】b只能在3、4中取，c只能在1，2中取
b、c取定后，a、d不难选取，共有5个满足要求的，即1324；1423；2314；2413；3412。 2.【解】当一盏灯经奇数次变换后是亮的，经偶数次变换后是灭的.所以只需将某一行（或某一列）的按钮均变换一次，这样，非此行（或列）的格子均变换1次，而该行（或列）的格子均变换了1997次，所以每盏灯均经过奇数次变换，结果都亮了。这也是最少的变换次数，因为如果减少一次变换，就会造成被减少变换的格子所在的列（或行）的灯不亮. 3.【解】设当甲以40千米／小时骑车与丙在N地相遇时，乙位于P地，如上图 当甲以40千米／小时的速度骑车与乙在M地相遇时．
甲骑车的路程：AM＝40×＝70(千米)，乙骑车的路程：BM＝105－70＝35(千米)，
则乙的速度是：35÷＝20(千米／小时)
3分钟后，丙乙相距：PN＝(40＋20)×＝3(千米)，
乙骑车到P的路程：BP＝35＋20×＝36(千米)，
乙从P骑车到c的路程：PC＝×22－36＝19(千米)，
乙从P到C所用的时间：19÷20＝(小时)
乙从P到C所用的时间也是丙从N到C所用的时间，所以，丙的车速是：3÷(千米／小时)
＋20＝
答：丙的车速是千米／小时．
4.【解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子.依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有处棋子时，圆周上有
a枚棋子，…，在第1次将要越过A
a－1)
a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2(
a－1)＋1＋
a＝
a－1.
＋1枚棋子，所以N＝2(N＝
a－1＝59049a－1是14的倍数。N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N＝
(7×8435＋4)a－1＝7×8435a＋4a－1，所以4a－1必须是7的倍数.当a＝21，25，27，29
时，4a－1不是7的倍数，当a＝23时,4a－1＝91＝7×13，是7的倍数. 答：圆周上还有23枚棋子.
5.【解】(a)设解题最多的人解出d道题.将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题。所以8d≥8×5，d≥5 d＝8时，结论成立d＝7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，d＝6时，剩下的两道题，各有5人解出，5＋5＞7。所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，d＝5时。另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3＋5＝8＞7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求。
(b)如表，表中如果*位于第i行，第j列，则表示第i个学生正确解答第j题.
6.【解】共有16组解答，它们是
(1，2，2，5，5，7，25)；(1，2，2，5，5，14，5)；(1，2，2，25，2，5，3，625)；(1，2，2.25，2.5，7.25)；(1，2，5，5.5，6)；(1，2，5，6，11)；(1，2．2.5，4.5，7)；(1，2，2.5，4.5，14)；(1，2，2.5，4.5，7)；(1，2，2.5，4.5，14)；(1，2，5，12，
14.5)；(1，2，5，12，29)；(1，2，2.25，2.5，4.5)；(1， 2，5，6，12)；(1，，2，
，
)；(1，2，，，5)；(1，，，，)；(1，，，，).