十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题10立体几何
1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm)是( )
3
A.158 B.162 【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为
2+64+6
×3+×322
C.182 D.324
×6=162.
2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( ) A.8√6π C.2√6π 【答案】D
【解析】设PA=PB=PC=2x. ∵E,F分别为PA,AB的中点, ∴EF∥PB,且EF=2PB=x. 1
1
B.4√6π D.√6π
∵△ABC为边长为2的等边三角形, ∴CF=√3.
又∠CEF=90°,∴CE=√3-??2,AE=PA=x. 在△AEC中,由余弦定理可知
??2+4-(3-??2)
cos∠EAC=2×2·??.
12作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,
∴D为AC的中点,cos∠EAC=????=2??. ∴
??2+4-3+??2
4??2
????1
=
1. 2??2
∴2x+1=2.∴x=2,即x=2. ∴PA=PB=PC=√2. 又AB=BC=AC=2, ∴PA⊥PB⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=2. ∴V=πR=π×故选D.
3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
4
33
1√2√6436√68=√6π.
2
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 【答案】B
【解析】如图,连接BD,BE.
在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点, ∴BM,EN是相交直线,排除选项C、D. 作EO⊥CD于点O,连接ON. 作MF⊥OD于点F,连接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥ CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD. 同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形. 设正方形ABCD的边长为2,易知 EO=√3,ON=1,MF=2,BF=√22+4=2, 则EN=√3+1=2,BM=√+∴BM≠EN.故选B.
5.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β 【答案】B
【解析】如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cos α=所以γ>β.故选B.
????
????34254√395
=√7,
=
????????=
????????<
????
=cos β,所以α>β,因为????tan γ=
????
????>
????
=tan β,????3
6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ) A.12√3 C.24√3 【答案】B
【解析】由△ABC为等边三角形且面积为9√3,设△ABC边长为a,则S=2a·2a=9√3.∴a=6,则△ABC的外接圆半径r=2×3a=2√3<4. 设球的半径为
13√3B.18√3 D.54√3
1√32
R,如图,OO1=√??2-??2=√42-(2√3)132
=2.当D在O的正上方
时,VD-ABC=S△ABC·(R+|OO1|)=×9√3×6=18√3,最大.故选B.
7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A.2√17 【答案】B
?的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知【解析】如图所示,易知N为CD
CN=4CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.
1
B.2√5 C.3 D.2
4