A.90π B.63π 【答案】B
【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×3×4+π×3×6×=63π.
122
2
C.42π D.36π
12
17.(2017·全国1·理T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A.10
B.12 C.14 D.16
【答案】B
【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)×2÷2=6,所以这些梯形的面积之和为12.
9
18.(2017·全国2·理T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.2 【答案】C
【解析】方法一:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D. 由题意可知BC1=√2,
BD=√22+12-2×2×1×??????60°=√3,C1D=AB1=√5.
2可知B??1+BD=C1D,
2
2
√3B.5 √15C.5 √10D.3 √3所以cos∠BC1D=√2√5=
√105
,故选C.
方法二:以B1为坐标原点,B1C1所在的直线为x轴,垂直于B1C1的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 由已知条件知
B1(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(-1,√3,1),则
??????? ??????? ????1=(1,0,-1),????1=(1,-√3,-1). ????????? ????1·????????? ????1??????? ??????? 所以cos==11????????? ????????? |????1|·|????1|
2√5×√2=5. √10√10所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
5.
19.(2017·北京·理T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A.3√2 B.2√3
C.2√2
D.2
10
【答案】B
【解析】由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=√22+22+22=2√3.故选B.
20.(2017·全国3·理T8文T9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A.π 【答案】B
【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,
B. 3??4C. ??2D. ??4
则
1
AC=1,AB=,底面圆的半径
2r=BC=,所以圆柱的体积是V=πrh=π×()×1=,故选B.
22√32
√32
3??421.(2017·全国1·文T6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
【答案】A
【解析】易知选项B中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D;故选A.
4.(2016·浙江·理T2文T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( ) A.m∥l B.m∥n
11
C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C
【解析】对于选项A,∵α∩β=l,∴l?α,∵m∥α,∴m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确; 对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确. 对于选项C,∵α∩β=l,∴l?β. ∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.
22.(2016·天津·文T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )
【答案】B
【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示.
易知其左视图为B项中图.故选B.
23.(2016·全国3·理T10文T11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ) A.4π 【答案】B
【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,半径较小的球即为所求.设球的半径为R,∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有2(6+8+10)×R=2×6×8,此时R=2;
当球与直三棱柱两底面相切时,有2R=3,此时R=2.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为2,故最大
12
3
3
1
1
B. 9??2
C.6π D.
32??
3