两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？
（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关； （2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为?。
11．假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。
12．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。 13．某股票市价为70元，年波动率为32%，无风险利率为10%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。
14．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
15．某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请用间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。
习题答案：
1、 该投资者最终的结果为：
max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X 可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。
本习题说明了如下问题： （1）
欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。
（2）
远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。
（3）
当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。
2、 美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权利外，还有提前执行的权利，因此美式期
权的价值至少应不低于欧式期权。 3、 下限为： 30－27e
-0.06×0.25
=3.40元。
4、 看跌期权价格为： p=c+Xe+D-S0 =2+25e
-0.5×0.08-rT
+0.5e
-0.1667×0.08
+0.5e
-0.4167×0.08
-24
=3.00元。
5、 （1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为： max(V-D,0)
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这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。 （2）债权人的结果为：
min(V,D)=D-max(D-V,0)
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以
分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。
（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。
第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
6、 考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多
头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为： 当ST?X1时，组合价值＝0；
当X1
当X2
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组
合现在的价值也应大于等于0，这意味着： c1+c3-2c2?0, 或者说： c2?0.5(c1+c3).
7、 令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议
价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价： c1+X1e=p1+S c2+X2e=p2+S c3+X3e=p3+S 因此，
c1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e=p1+p3-2p2 由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样， c1+c3-2c2=p1+p3-2p2 证毕。
8、 看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧
式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为： 期末股价范围
ST?X2 X1 -rT -rT-rT-rT 看涨期权的牛市差价组合 X2-X1 ST－X1 0 看跌期权的熊市差价组合 0 X2-ST X2-X1 75 总结果 X2-X1 X2-X1 X2-X1 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。 9、 由于 ?S~?(??t,??t) S0.5 在本题中，S＝50，?＝0.16,?=0.30,?t=1/365=0.00274.因此， ?S/50??(0.16?0.00274,0.3?0.00274) =?(0.0004,0.0157) ?S??(0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96?0.785至50.022+1.96?0.785,即48.48元至51.56元之间。 10、 （1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为： ?（a1??1T,?1T) X2的概率分布为： ?（a2??2T,?2T) 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 2?（a1??1T?a2??2T,?12T??2T) ??（a1?a2?(?1??2)T,(???)T)2 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?12??2的普通布朗运动。 2122 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为： 22 ?[(?1??2)?t,(?1??2?2??1?2)?t] 如果?1、?2、?1、?2和?都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内 的变化的概率分布为： 22 ?[(?1??2)T,(?1??2?2??1?2)T] 2 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?12??2+ 2??1?2的普通布朗运动。 11、 在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25, 因此， d1?ln(50/50)?(0.1?0.09/2)?0.25?0.24170.3?0.25 d2?d1?0.3?0.25?0.0917 这样，欧式看跌期权价格为， p?50N(?0.0917)e?0.1?0.25?50N(?0.2417)?50?0.4634e?0.1?0.25 ?50?0.4045?2.37 76 12、 根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有： p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(?d1)?S 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为： p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有： c?Xec?Xe?rT?SN(d1)?Xe?rTN(d2)?Xe?rT 由于N（d2)?1?N(?d2),上式变为：?rT ?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 可见，p?S?c?Xe?rT，看涨期权和看跌期权平价公式成立。 13、 D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 X[1?e?r(T?t2)]?65(1?e?0.1?0.1667)?1.07X[1?e?r(t2?t1)]?65(1?e?0.1?0.25)?1.60 可见， D2?X[1?e?r(T?t2)]D1?X[1?e?r(t2?t1)] 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为： e?0.25?0.1?e?0.50?0.1?1.9265 该期权可以用欧式期权定价公式定价： S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32 ln(68.0735/65)?(0.1?0.322/2)?0.6667d1??0.56260.32?0.6667 d2?d1?0.32?0.6667?0.3013 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184 77