2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题28基本不等式及其应用(题型专练)含解析

1.设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有( ) A.最大值27 B.最小值27 C.最大值54 D.最小值54 【答案】D

【解析】因为x>0,y>0,且2x+y=6, 所以9x+3y≥29x·3y=232xy=236=54,

3

当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54。

2

11

2.已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象过点(0,1),则+的最小值是( )

abA.3+22 B.3-22 C.4 D.2 【答案】A

112a+b2a+bb2a

【解析】因为函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,所以2a+b=1,所以+=+=3++≥3

abababb2a11

+22,当且仅当=,即b=2a时,取等号,所以+的最小值是3+22。

abab

1119

3.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为( )

aba-1b-1A.1 B.6

C.9 D.16 【答案】B

12

4.设a>1,b>0,若a+b=2,则+的最小值为( )

a-1bA.3+22 B.6

C.42 D.22 【答案】A

【解析】由a+b=2可得,(a-1)+b=1。

1212b

因为a>1,b>0,所以+=?a-1+b?(a-1+b)=+?a-1b?a-12b

当且仅当=a-1

a-b

,即a=2,b=2-2时取等号。

a-b

+3≥22+3。

14

5.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则+的最mn小值为( )

35A. B. 23925C. D. 46【答案】A

19

6.正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范

ab围是( )

A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 【答案】D

19

【解析】因为a>0,b>0,+=1,

ab

19?b9a

+=10++≥10+29=16, 所以a+b=(a+b)??ab?ab由题意,得16≥-x2+4x+18-m, 即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,

而x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x2-4x-2的最小值为-6, 所以-6≥-m,即m≥6。

19

7.正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范

ab围是( )

A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 【答案】D

11

8.已知x,y>0且x+4y=1,则+的最小值为( )

xyA.8 C.10

B.9 D.11

【答案】B

4yx?11x+4yx+4y

【解析】∵x+4y=1(x,y>0),∴+=+=5+??x+y?≥5+2xyxy1

当且仅当x=2y=时,取等号?. 9?3??

9.已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200 【答案】B

【解析】由题意得2×2=lg x+lg y=lg(xy),所以xy=10 000,则x+y≥2xy=200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y的有最小值200,故选B.

a10.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( )

x-1A.16 C.4

B.9 D.2

4yx

·=5+4=xy

【答案】C

【解析】在(1,+∞)上,x+

aa=(x-1)++1≥2x-1x-1

x-1

a

x-

+1=2a+1(当且仅当x=1

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