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2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理科）
参考公式：
? 如果事件A，B互斥，那么P?AB??P?A??P?B?；
? 如果事件A，B相互独立，那么P?AB??P?A?P?B?；
? 柱体的体积公式V?Sh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高；
1? 锥体体积公式V?Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．
3第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，理1，5分】设集合A?{1,2,6},B?{2,4},C?{x?R|?1?x?5}，则(AB)C?（ ）
（A）?2? （B）?1,2,4? （C）?1,2,4,6? （D）?x?R|?1?x?5? 【答案】B 【解析】(AB)C??1,2,4,6???1,5???1,2,4?，故选B．
?2x?y?0,?x?2y?2?0,?（2）【2017年天津，理2，5分】设变量x,y满足约束条件?则目标函数z?x?y的最大值为（ ）
x?0,???y?3,23（A） （B）1 （C） （D）3
32【答案】D
324【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中A(0,1),B(0,3),C(?,3),D(?,)，所以直线z?x?y过点B
233时取最大值3，故选D．
（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为
24，则输出N的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C
【解析】依次为N?8 ，N?7,N?6,N?2，输出N?2，故选C．
ππ1（4）【2017年天津，理4，5分】设??R，则“|??|?”是“sin??”的（ ）
12122 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A
???1??1??0????sin??，??0，sin??，不满足???，所以 【解析】??12126212122是充分不必要条件，故选A．
x2y2（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F和
abP(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） x2y2x2y2x2y2x2y2 （A）??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1
44884884【答案】B
4x2y2【解析】由题意得a?b,??1?c?4,a?b?22???1，故选B．
?c88（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x)．若a?g(?log25.1)，b?g(20.8)，
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c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A）a?b?c （B）c?b?a （C）b?a?c （D）b?c?a 【答案】C 【解析】因为f?x?是奇函数且在R上是增函数，所以在x?0时，f?x??0，从而g?x??xf?x?是R上的偶函数，
5.1且在?0,???上是增函数，a?g??log5.1，20.8?2，又4?5.1?8，2?log5.12?3，所以即2??g?log2?5.10?20.8?log，g?20.8??g?log5.1，所以b?a?c，故选C． 2?32??g?3?（7）【2017年天津，理7，5分】设函数f(x)?2sin(?x??)，其中??0，若f(|?|??．x?R，
5????)?2，f()?0，88且f(x)的最小正周期大于2?，则（ ）
2?2???1???1??（A）??，?? （B）??，??? （C）??，??? （D）??，??
331224241233
【答案】A
??5?????2k??1?422??82【解析】由题意?，其中k1,k2?Z，所以??(k2?2k1)?，又T??2?，所以0???1，
11??33?????k2???821?所以??，??2k1???，由???得??，故选A．
31212?x2?x?3,x?1,x?（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数f(x)??设a?R，若关于x的不等式f(x)?|?a|在22?x?,x?1.x?R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
47473939（A）[?,2] （B）[?,] （C）[?23,2] （D）[?23,]
16161616【答案】A
xxx【解析】不等式f?x???a为?f?x???a?f?x??*?，当x?1时，?*?式即为?x2?x?3??a?x2?x?3，
222x1?47x31?2（x?时取等号）， ?x2??3?a?x2?x?3，又?x??3???x???2416224??33?393934739?x?x?3??x????（x?时取等号），所以??a?，当x?1，?*?式为
24?161616164?222?x?322?232x232xx2?3时取等 ??a?x?，?x???a??，又?x????x????23（当x?2xx?3x2x2x22x?2x2x247??2??2（当x?2时取等号），所以?23?a?2，综上??a?2，故选A． 2x2x16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
a?i（9）【2017年天津，理9，5分】已知a?R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 ．
2?i【答案】?2
a?i(a?i)(2?i)(2a?1)?(a?2)i2a?1a?2a?2【解析】????i为实数，则?0,a??2．
2?i(2?i)(2?i)5555（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则
这个球的体积为 ． 9?【答案】
244279【解析】设正方体边长为a ，则6a2?18?a2?3，外接球直径为2R?3a?3,V?πR3?π??π．
3382号），
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?（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4?cos(??)?1?0与圆??2sin?的公共点的个数
6为 ． 【答案】2
3【解析】直线为23x?2y?1?0 ，圆为x2?(y?1)2?1 ，因为d??1 ，所以有两个交点．
444a?4b?1（12）【2017年天津，理12，5分】若a,b?R，ab?0，则的最小值为 ．
ab【答案】4
a4?4b4?14a2b2?1【解析】??4 ，当且仅当a?2,b?1时取等号．
ababAE??AC?AB(??R)，（13）【2017年天津，理13，5分】在△ABC中，若BD?2DC，∠A?60?，AB?3，AC?2．且AD?AE??4，则?的值为 ．
3【答案】
11212?1?【解析】AB?AC?3?2?cos60??3，AD?AB?AC，则AD?AE??AB?AC??AC?AB
333?3??2?123??3??4??9??3??4???． 333311（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字
是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答） 【答案】1080
134C5A4?1080． 【解析】A54?C4三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15，13分】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a?b，a?5,c?6，
3sinB?．
5（1）求b和sinA的值；
π（2）求sin(2A?)的值．
434解：（1）在△ABC中，a?b，故由sinB?，可得cosB?．由已知及余弦定理，b2?a2?c2?2accosB?13，
55asinB313313ab所以b?13．由正弦定理，得sinA?．所以b值为13，． sinA的值为??b1313sinAsinB213125 （2）由（1）及a?c，得cosA?，所以sin2A?2sinAcosA?，cos2A?1?2sin2A??．
131313πππ72故sin(2A?)?sin2Acos?cos2Asin?．
44426（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在
111各路口遇到红灯的概率分别为,,．
234（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
1111解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P(X?0)?(1?)?(1?)?(1?)?，
234411111111111， P(X?1)??(1?)?(1?)?(1?)??(1?)?(1?)?(1?)??2342342342411111111111111． P(X?2)?(1?)????(1?)????(1?)?，P(X?3)????234234234423424所以，随机变量X的分布列为
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