(五)坐标系与参数方程
1.(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程
?x＝22t，是?
2y＝?2t＋42
(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐
π
θ＋?. 标方程为ρ＝2cos??4?(1)判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)设M为曲线C上任意一点,求x＋y的取值范围.
?x＝22t，
解 (1)由?
2y＝?2t＋4πθ＋?, 由ρ＝2cos??4?2，
消去t,得直线l的普通方程为y＝x＋42.
ππ
得ρ＝2cos θcos －2sin θsin＝2cos θ－2sin θ.
44∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ, 即 x2－2x＋y2＋2y＝0. 化为标准方程得?x－
?
2?2?2
＋y＋?2＝1. 2??2?∴圆心坐标为?
22?,半径为1. ，－2??2
∵圆心到直线l:x－y＋42＝0的距离
d＝?2＋2＋42?
2?2?
2
＝5>1,
∴直线l与曲线C相离.
(2)由M(x,y)为曲线C上任意一点,
?x＝22＋cos θ，
可设?
2
y＝－＋sin θ?2
(0≤θ<2π),
π
θ＋?, 则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin??4?∵0≤θ<2π,
π
θ＋?≤2, ∴－2≤2sin??4?∴x＋y的取值范围是[－2,2].
2.(2018·湖北省华中师范大学第一附属中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方
???x＝1＋cos α，?x＝cos β，
程为?(α为参数),曲线C2的参数方程为?(β为参数),以坐标原点O
?y＝sin α?y＝1＋sin β??
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；
ππππ
<α
α－?, 即ρ2＝2sin??6?π
α－? 则|OP|·|OQ| ＝ρ1·ρ2＝2cos α·2sin??6?＝4cos α?
31?sin α－cos α
2?2?
＝23sin αcos α－2cos2α
π
2α－?－1. ＝3sin 2α－cos 2α－1＝2sin?6??ππ
∵<α<, 62ππ5π∴<2α－<, 666πππ当2α－＝,即α＝时,
623|OP|·|OQ|取最大值1.
3.(2018·江西省重点中学协作体联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(m,2),其参数方
??x＝m＋t，
程为?(t为参数,m∈R),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的
?y＝2－t?
极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)求已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|＝2|PB|,求实数m的值.
??x＝m＋t，
解 (1)C1的参数方程?(t为参数,m∈R)
?y＝2－t，?
消参得普通方程为x＋y－m－2＝0.
C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0,两边同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0,即y2＝4x.
即C2的直角坐标方程为y2＝4x.
?x＝m－22t，
(2)将曲线C的参数方程标准化为?
2
y＝2＋t?2
1
(t为参数,m∈R),代入曲线C2:y2＝4x,
1
得t2＋42t＋4－4m＝0, 2
1
由Δ＝(42)2－4××(4－4m)>0,得m>－3,
2设A,B对应的参数为t1,t2,
由题意得|t1|＝2|t2|,即t1＝2t2或t1＝－2t2,
?t1＝2t2，?
当t1＝2t2时,?t1＋t2＝－82，
?t2＝2?4－4m?，?t1·
23
解得m＝－,满足m>－3；
9
?t1＝－2t2，?
当t1＝－2t2时,?t1＋t2＝－82，
?t2＝2?4－4m?，?t1·
解得m＝33,满足m>－3. 23
综上,m＝－或33.
9
??x＝tcos α，
4.(2018·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?(t为参
?y＝1＋tsin α?
数,0≤α<π).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A,B,若|AB|＝8,求α的值.