连续统假设的否定（一）
陈守仁*
摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设。 关键词：连续统假设，不可数集，凝聚点，有界闭集，一致连续。
一、 连续统假设的推论3[1]
在(-∞,+∞)的一个不可数子集E上，存在一个连续函数f(x)，使得它在E的任一个不可数子集上都不是一致连续的。
下面我们证明此推论不成立。
二、 证明过程
引理一、任何不可数集E中，都至少包含一个凝聚点M，且M∈E。 证：分两种情况讨论： （一）当E为有界不可数集时
假设集合E不含凝聚点，下面再分三种情况探讨：
（1） E中只含一些孤立点，则E为至多可数集，即E≤a[2]。
（2） E中只含一般的聚点，设M1为E中一聚点，则以M1为中心的任一
邻域内都含有E中可数无限个点，集合E必包含于以M1为中心的某一邻域内（因E有界），此邻域包含E中可数个点，且包含E中
=
全部的点，故E为可数集。即E=a。
=
（3） E中既有孤立点，也有一般的聚点，即E=E1+E2。其中E1中只含
孤立点，E2中只含一般的聚点。所以…….E=E1+E2≤E1+E2=a+a=a。
从以上三种情况都可证出E≤a，和E=C的假设（因假设E为不可数集）矛盾，故E中至少含有一个凝聚点M。下面再分两种情况讨论：
(a) 若M为E的内点，则M∈E。
(b) 若M为E的边界点，则M可能属于E，也可能不属于E。
当M∈E时，问题已解决；当M ? E时，因M为E的凝聚点，则以M为中心的任一邻域δ内，都含有E中不可数的点。用Eδ表示δ邻域中所有E中点的集合，则Eδ为不可数集。因为M ? E，故M ? Eδ。设
=
=
=
= =
M1为Eδ中任一点，因M ? Eδ，而M1∈Eδ，所以M1≠M。现在以M1为中心，δ长为半径，做一个邻域δ1，则Eδ就被δ1覆盖，于是δ1中也含有E中不可数的点。因为δ邻域的长是任意的，而δ1比δ长一倍，故δ1邻域的长也是任意的，这样，以M1为中心的任一δ1邻域内，都含有E中不可数的点，所以M1为E的凝聚点，且M1∈Eδ?E。这就证明了在任意有界不可数集E中，皆至少含有一个属于E的E的凝聚点。
（二）当E为无界不可数集时
当E为无界不可数集时，E中至少有一个有界不可数子集，否则若E中任一有界子集皆为至多可数集（注解1）,则集合E就成为可数个可数集的并集，仍为可数集，这就和E为不可数集的假设矛盾。假设集合E中有一个有界不可数子集E1，根据（一）中所证，E1中至少含有一个凝聚点M1，且M1∈E1。则以M1为中心的任一邻域内，都含有E1中不可数的点，因E1?E，故以M1为中心的任一邻域内，都含有E中不可数的点，即M1也是E的凝聚点，且M1∈E。这就证明了无界不可数集也含有属于它的凝聚点。
综上所述，任何不可数集E中，都至少含有一个凝聚点M，且M ∈E，引理一得证。
引理二、设E1为不可数集E中所有凝聚点的集合，则E1为不可数集。 证：由于E1为E中所有凝聚点的集合，则集合（E-E1）中就不含凝聚点，从引理一（一）的证明过程中就可看出E-E1≤a。如E1不是不可数集，E1必为至多可数集（注解1）, 则E1≤a，这时E=E1+(E-E1) ≤E1+E-E1≤a+a=a，即E为至多可数集，和E为不可数集的假设矛盾，所以E1为不可数集，引理二得证。
引理三、设E为不可数集，且E中所有的点都是E中的凝聚点，则E中任意一个由凝聚点组成的有界子集E1也是不可数集（E未必有界）。 证：由于E1?E，设M1为E1中任一点，则M1∈E1?E，根据假设，E1中所有的点都是E中的凝聚点，M1也不例外，则以M1为中心的任一δ邻域内，都含有E中不可数的点。我们这样选取δ邻域：（一）、M1为E1的内点，选取时把δ邻域的两个端点都选在E1的边界内，并称新选取的邻域为δ1。（二）、M1为E1的边界点（M1∈E1），选取时把δ邻域的一个端点落在E1的边界内，称δ邻域在E1内部的一半为δ1，由于M1为E的凝聚点，故不论M1为E1的内点或边界点，
=
δ1邻域内都含有E中不可数的点，即δ1=c。又因为E为不可数集，所以E=c；
=
又由于δ1?E1?E，因此就得出 c=δ1≤E1≤E=c……(1) 否则，若（1）式不成立，就有 δ1＞E1…….(2) 或有
E1＞E……..(3)
但（2）、（3）两式皆和δ1?E1?E矛盾，因此都不能成立。最后由（1）式得出c≤E1≤c，即E1=c，所以E1为不可数集，引理三得证。 引理四、在有界闭集E上连续的函数f(x)在E上一致连续。
证：设x0为E中任一点，x为E中异于x0任一点（即x≠x0），因假设f(x)在E上连续，故f(x)在x0也必连续（因x0∈E）。因此对于任意给定的ε＞0，必存在一个δ＞0，当|x-x0|＜δ时，就有|f(x)-f(x0)|＜ε成立。
我们假设f(x)在E上不一致连续，则对于某一个ε0＞0，不管δ多麽小，在闭集E上总可找到两点x1和x2，虽然| x1-x2|≥δ，但仍有
|f(x1)-f(x2)|≥ε.……（1）
由于f(x)在E上连续，故f(x)在x2也应该连续(因x2∈E)，则当|x1-x2|＜δ（0δ0为某一正数，δ0随ε0而定），有
|f(x1)-f(x2)|＜ε0……（2）
这就和（1）式矛盾，所以f(x)在E上一致连续，引理四证毕。 在这里，我们应注意两点：
（一）此引理是数学分析中康托定理[3]的推广，康托定理只通用于闭区间，而此引理却适用于任意有界闭集。
（二）集合E有界且为闭集这两个条件缺一不可，否则此引理就不成立，请看以下两个反例[3]：
a) f(x)=x2在(-∞,+∞)连续，但在(-∞,+∞)却不一致连续（因(-∞,+∞)无界）。
1 b) f(x)= —x 在（0,1）连续，但在（0,1）却不一致连续（因（0,1）为开集）。
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=
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