第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a2a3＋＋的最小值为( ) a2′a3′
A．3 C．9
B．6 D．12
a1a1′
111
解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，
a3a2a1由乱序和不小于反序和知，
a1a2a3a1a2a3所以＋＋≥＋＋＝3，
a1′a2′a3′a1a2a3a1a2a3所以＋＋的最小值为3，故选A.
a1′a2′a3′答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元 C．450 元
B．400 元 D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反
序和最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N C．M＜N
B．M＝N D．M＞N
解析：不妨设a≥b≥c＞0， 则a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4， 又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N. 答案：A
4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是( )
A．1 C．3
B．2 D.3
3
解析：设a≥b≥c≥0，所以a ≥b ≥ c.
由排序不等式可得ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc. 而(aa＋bb＋cc)2≤[(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aa＋bb＋cc≤3.
所以ab＋bc＋ca≤3. 答案：C
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－
ab)的正负情况是( )
A．大于零 C．小于零
B．大于等于零 D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题
6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an
的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．
答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1
abc
7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________．
b＋cc＋aa＋b111
解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥，
b＋cc＋aa＋b由排序原理，知
abcbca＋＋≥＋＋，① b＋cc＋aa＋bb＋cc＋ab＋a
abccac＋＋≥＋＋，② b＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b3abc
①＋②得＋＋≥.
b＋cc＋aa＋b23
答案： 2
bccaab8．设a，b，c＞0，则＋＋________a＋b＋c.
abc