专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题
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纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.
解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法. 1、利用几何关系求最值的一般思路:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置.
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2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段
（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.
（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化. （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径
（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）
3、与圆相关的最值问题：
（1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为PM?PC?r，最大值为PN?PC?r（即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点
APBC
（2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB?2r?d，若AB最小，则d要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中， d?CP，所以d?CP时，AB最小
N22ClPM
（3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为PM?dC?l?r，距离的最大值为
PN?dC?l?r（过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N
2
MlCP
（4）已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM 解：PM?CP2?r2，则若PM最小，则只需CP最小即可，
所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小
?过P作圆的切线，则切线长PM最短
4、与圆锥曲线相关的最值关系：
x2y2（1）椭圆：设椭圆方程为a2?b2?1?a?b?0?
① 焦半径：焦半径的最大值为a?c，最小值为a?c
焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为2b2②a，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
2）双曲线：设双曲线方程为x2y2（a2?b2?1?a?0,b?0?
① 焦半径：焦半径的最小值为a?c，无最大值
② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为2b2a，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
（3）抛物线：设抛物线方程为y2?2px
① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即p2 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2p
【经典例题】
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