棒球最佳击球点研究
摘要
本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，并在此基础上分析了在球棒中添加软木填充物、不同球棒材质相对于普通木质球棒的击打效果。
针对问题（1），首先对球棒外形进行几何简化抽象描述，得到球棒的几何描述方程。然后以球-棒碰撞系统为研究对象，利用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立了刚体动力学模型，进而提出最佳击球点的计算方法，得出普通木质球棒的“最佳击球点”在距离球棒柄段66厘米处。
针对问题（2），本文从添加填充物引起的球棒质量、质心、转动惯量变化出发，分析了添加软木填充物对击球效果的影响，得到“填充软木塞降低棒球的速度”的结论。
问题（3）中，根据不同材质导致转动惯量和恢复系数不同，研究了不同材质对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。
鉴于球棒击球时存在机械振动这一客观事实，本文最后提出了利用接触力学和波动力学理论分别对碰撞模型的改进模型。通过建立接触力学的Hertz模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。
关键词：最佳击球点 动力学模型 Hertz模型 横向振动梁模型
一、问题重述
棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。请查找资料，建立数学模型，解决以下问题：
(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。
(2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确定或否定该结论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。
(3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的不同打击效果。解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。
二、问题分析
“击球”是一个典型的碰撞问题。题目要求构建模型解释“最佳击球点”为何不在球棒最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，不同材质的球棒是否会产生不同的打击效果。首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。题目中称“可以把打击球的力量最大程度地转移到球上”的击球点为“最佳击球点”。力量的转移不容易量化，但球的离开速度可以作为其外在表现加以测量。这样，寻找“最佳击球点”就是寻找能使球的击出速度最大的击球点。在最佳击球点添充软木塞会产生如下变化：改变球棒质心、改变球棒重量、改变转动惯量进而影响击球效果。不同材质球棒的区别主要有：密度不同、质量不同导致的转动惯量不同；材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同进而影响击球效果。
将球、棒视为刚体，可以建立“球-棒”系统为研究对象建立经典动力学模型进行分析。已有研究表明，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大，可以近似为球棒是“自由端”。利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及“恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系，从而找到“最佳击球点”并分析填充软木塞、改变材料对击球效果的影响。
经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是粗糙的。考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型，可以得到更精确的结果。
球棒在击球过程中可看做一个一端固定一端自由的振动梁，因此可利用振动力学的知识列出球棒在击球过程中满足的微分方程，进而求解该微分方程，得出球棒的振动方程。通过不同材质的相关参数的不同得到木质球棒与铝制球棒之间的振动差异，进而定性的解释木棒与铝棒在击球过程中体现出的不同特点。
[3] 1
三、模型假设与约定
1、球在飞行过程中不自旋。
2、球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。 3、球棒形状、尺寸、重量相同。
四、符号说明
符号 e
C J M
含义 恢复系数 重心位置 转动惯量 球棒重量
五、理论力学模型的建立与求解
5.1球棒外形的抽象描述模型
文献表明，木质棒球球棒的一般规格为：
表 1棒球球拍的物理参数 参数 棒长L 棒重M 木质密度? 木质杨氏模量E 最大半径r2 最小半径r1 重心位置C 0.855m 0.885kg 649kg/m3 1.814?1010N/m2数值 7cm 2.5cm 距较小端面0.564m 球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下：
2