第一章 模态分析
§1.1模态分析的定义及其应用
模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是 承受动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、 谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析 过程。
ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。前者有旋转的涡轮叶片等的 模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。 ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定 义了也将被忽略。ANSYS提供了七种模态提取方法，它们分别是子空间法、分块Lanczos法、
PowerDynamics法、 缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。阻尼法和 QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。后面将详细介绍模态提取方法。 §1.2模态分析中用到的命令
模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。同样，无论进行何种类型的分析，均可从用户图形 界面（GUI）上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。
后面的“模态分析实例（命令流或批处理方式）”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令（手工或以批处理 方式运行ANSYS时）。而“模态分析实例（GUI方式）” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例 分析的步骤。（要想了解如何使用命令和GUI选项建模，请参阅<
典型的无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题：
其中：
=刚度矩阵,
=第 阶模态的振型向量（特征向量）,
=第 阶模态的固有频率（ 是特征值）,
=质量矩阵。
有许多数值方法可用于求解上面的方程。ANSYS提供了7种方法模态提取方法，下面分别进行讨论。 1.分块Lanczos法 2.子空间（Subspace）法 3.Power Dynamics法
4.缩减（Reduced /Householder）法 5.非对称（Unsymmetric）法
6.阻尼（Damp）法（阻尼法求解的是另一个方程，参见<
7. QR阻尼法（QR阻尼法求解的是另一个方程，参见<
前四种方法（分块Lanczos法、子空间法、PowerDynamics法和缩减法）是最常用的模态提取方法。下表 比较了这四种模态提取方法，并分别对每一种方法进行了简要描述。
对称系统特征值求解法表
模态提取法 缺省提取方法 用于提取大模型的多阶模态（40阶以上） 建议在模型中包含形状较差的实体和壳单元时采用此法 最适合于由壳或壳与实体组成的模型 速度快，但要求比子空间法内存多50% 用于提取大模型的少数阶模态（40阶以下） 子空间法 适合于较好的实体及壳单元组成的模型 可用内存有限时该法运行良好 用于提取大模型的少数阶模态（20阶以下） Power 适合于100K以上自由度模型的特征值快速求解 高 Dynamics 对于网格较粗的模型只能得到频率近似值 复频情况时可能遗漏模态 用于提取小到中等模型(小于10K自由度)的所有模态 缩减法 选取合适主自由度时可获取大模型的少数阶（40阶以下）模态，此时频率计算的精度取决于主自由度的选取。 低 低 低 低 高 中 低 内存存贮要求 要求 适用范围 分块 Lanczos法 §1.3 .1分块Lanczos法
分块Lanczos法特征值求解器是却省求解器，它采用Lanczos算法，是用一组向量来实现Lanczos递归计算。 这种方法和子空间法一样精确，但速度更快。无论EQSLV命令指定过何种求解器进行求解，分块Lanczos法都 将自动采用稀疏矩阵方程求解器。
计算某系统特征值谱所包含一定范围的固有频率时，采用分块Lanczos法方法提取模态特别有效。计算时， 求解从频率谱中间位置到高频端范围内的固有频率时的求解收敛速度和求解低阶频率时基本上一样快。因此， 当采用频移频率（FREQB）来提取从FREQB（起始频率）的n阶模态时，该法提取大于FREQB的n阶模态和 提取n阶低频模态的速度基本相同。 §1.3 .2子空间法
子空间法使用子空间迭代技术，它内部使用广义Jacobi迭代算法。由于该方法采用完整的
和
矩阵，因此精度很高，但是计算速度比缩减法慢。这种方法经常用于对计算精度要求高，但无法选择主自由 度（DOF）的情形。
做模态分析时如果模型包含大量的约束方程，使用子空间法提取模态应当采用波前（front）求解器，不 要采用JCG求解器；或者是使用分块Lanczos法提取模态。当你的分析中存在大量的约束方程时，如果采用JCG 求解器组集内部单元刚度，致使计算要求有很大的内存才能进行下去。 §1.3 .3 PowerDynamics法
PowerDynamics法内部采用子空间迭代计算，但采用PCG迭代求解器。这种方法明显地比子空间法和分 块Lanczos法快。但是，如果模型中包含形状较差的单元或病态矩阵时可能出现不收敛问题。该法特别适用 于求解超大模型（大于100,000个自由度）的起始少数阶模态。谱分析不要使用该方法提取模态。 PowerDynamics法不进行Sturm序列检查（即不检查模态遗漏问题），这可能影响有多个重复频率问题的 解。此法总是采用集中质量近似算法，即自动采用集中质量矩阵（LUMPM，ON）。
注意—如果用PowerDynamics 法求解含刚体运动的模型的模态，则一定要用RIGID 命令或选择等效的GUI 途径。
注意—（Main Menu > Solution > Analysis Options 或Main Menu >Preprocessor > -Loads- > Analysis Options ）。 §1.3 .4缩减法
缩减法采用HBI算法（Householder-二分-逆迭代）来计算特征值和特征向量。由于该方法采用一个较小的 自由度子集即主自由度（DOF）来计算，因此计算速度更快。主自由度（DOF）导致计算过程中会形成精确 的 量阵
矩阵和近似的 矩阵（通常会有一些质量损失）。因此，计算结果的精度将取决于质
的近似程度，近似程度又取决于主自由度的数目和位置。
§1.3 .5非对称法
非对称法也采用完整的 和 矩阵，适用于刚度和质量矩阵为非对称的问题（例如声学中 流体-结构耦合问题）。此法采用Lanczos算法，如果系统是非保守的（例如轴安装在轴承上），这种算法将解 得复数特征值和特征向量。特征值的实部表示固有频率，虚部是系统稳定性的量度─负值表示系统是稳定的， 而正值表示系统是不稳定的。该方法不进行Sturm序列检查，因此有可能遗漏一些高频端模态。 §1.3 .6阻尼法
阻尼法用于阻尼不能被忽略的问题，如转子动力学研究。该法使用完整矩阵（ 、 及阻 尼
阵 ）。阻尼法采用Lanczos算法并计算得到复数特征值和特征向量（如下所述）。此法不能用Sturm 序列检查。因此，有可能遗漏所提取频率的一些高频端模态。 §1.3 .5.1阻尼法—特征值的实部和虚部
特征值的虚部
代表系统的稳态角频率。特征值的实部
)指数规律递减。如果
代表系统的稳定性。如果
小于零， 系
统的位移幅度将按EXP( 大于零，位移幅度将按指数规律递增。（或者换 句
则表示按指数规律递增的不稳定响应。） 如果
话说，负的 表示按指数规律递减的稳定响应；正的
不存在阻尼，特征值的实部将为零。
ANSYS报告的特征值结果实际上是被
除过的。这样给出的频率是以Hz（周/秒）为单位的。即：
报告的特征值虚部=
报告的特征值实部=
§1.3 .5.2阻尼法—特征向量的实部和虚部
在有阻尼系统中，不同节点上的响应可能存在相位差。对任何节点，幅值应是特征向量实部和虚部分 量的矢量和。 §1.3 .7 QR阻尼法
QR阻尼法同时具有分块Lanczos法与复Hessenberg法的优点，最关键的思想是，以线性合并无阻尼系 统少量数目的特征向量近似表示前几阶复阻尼特征值。采用实特征值求解（分块Lanczos法）无阻尼振型 之后，运动方程将转化到模态坐标系。然后，采用QR阻尼法，一个相对较小的特征值问题就可以在特征 子空间中求解出来了。
该方法能够很好地求解大阻尼系统模态解，阻尼可以是任意阻尼类型，即无论是比例阻尼或非比例 阻尼。由于该方法的计算精度取决于提取的模态数目，所以建议提取足够多的基频模态，特别是阻尼较 大的系统更应当如此，这样才能保证得到好的计算结果。该方法不建议用于提取临界阻尼或过阻尼系统的 模态。该方法输出实部和虚部特征值(频率)，但仅仅输出实特征向量(模态振型)。
参见CE方法的详细内容，掌握使用QR阻尼法( MODOPT 命令)处理约束方程(CE)的技术。
约束方程(CE)方法
约束方程 Cekey 处理方法 3 应用范围 直接模型中只有少量约束方程时使用。例如，在一个100,000自由度问题中，消去只有大约1,000个约束方程。一旦约束方程太多，该方法需要的内存极法 高。此时，建议使用拉格朗日乘子法( Cekey = 1或 2)。 模型中存在大量约束方程时使用。例如，在一个100,000自由度问题中，拉格具有1,000以上的约束方程。特别注意，当使用 CEINTF 、 CERIG 或 一条命令就可以生成多个约束方程。此时，朗日CYCSOL 命令创建约束方程时，0 ，1 乘子建议使用拉格朗日乘子法。 法 Cekey = 1：\Solution\是一个快速处理方法，占用CPU时间接近于直接消去法。但是，提取较高阶频率值一般是实际值的1 - 2%。当高阶频率比低阶频率高出二次或更高次的数量级时，就会出现这种误差。 Cekey = 0：\Solution\是一个严密精确的方法。但是，占用CPU的时间大致是\Solution\的两倍。 §1.4矩阵缩减技术和主自由度选择准则
下面介绍如何矩阵缩减技术以及选择主自由度（DOF）的基本准则。 §1.4.1矩阵缩减 技术
矩阵缩减是通过缩减模型矩阵的大小以实现快速、简便的分析过程的方法。它主要用于动力学分析 ，如模态分析、谐响应分析和瞬态动力学分析。矩阵缩减也用于子结构分析中以生成超单元。
矩阵缩减允许按照静力学分析那样建立一个详细的模型，而仅将“有动力学特征”部分用于动力学 分析。可以通过辨识定义为主自由度的关键自由度来选择模型的“有动力学特征”部分，但必须注意， 主自由度应足以描述系统的动力学行为。ANSYS程序根据主自由度（DOF）来计算缩减矩阵和缩减自由 度（DOF）解，然后通过执行扩展处理将解扩展到完整的自由度（DOF）集上。矩阵缩减的主要优点是， 计算缩减解可以大大节省CPU时间，大问题的动力学分析时更是如此。
ANSYS程序采用的矩阵缩减基础理论是Guyan缩减法计算缩减矩阵。此法的一个关键假设是：对于 较低的频率，从自由度（被缩减掉的自由度（DOF））上的惯性力和从主自由度传递过来的弹性力相比 是可以忽略的。因此，结构的总质量只分配到主自由度（DOF）上。最终结果是缩减的刚度矩阵是精确 的，而缩减的质量和阻尼矩阵是近似的。关于如何计算缩减矩阵的详细内容参见 §1.4.2人工选择主自由度的准则
选择主自由度是缩减法分析中很重要的一步。缩减质量矩阵的精度（求解精确）将取决于主自由度 的位置和数目。对于给定的问题，可以选择多种不同的主自由度集，在所多种情形下都可以得到能够接受的结果。
用命令M和MGEN来选择主自由度，也可用TOTAL命令让程序在求解过程中选择主自由度。建议两 种方式兼用：自己选择少量主自由度，同时让ANSYS程序选择一些自由度。这样，程序将弥补那些可能被遗漏的模态。
下面是选择主自由度的基本准则：
1.主自由度的总数至少应是感兴趣的模态数的两倍。 2.把预计结构或部件要振动的方向选为主自由度。
例如对于平板问题，应至少在法向上选择几个主自由度（见图1a）。如果在一个方向上的运动会引起 另一个方向上的大运动时，应在两个方向上都选择主自由度（见图1b）。
图1（a）平板可能有的法向主自由度