群论复习题
???ab?1. 证明:G????cd??a,b,c,d?Z??????? 关于矩阵的加法构成一个群. ??
??12.令G??????0个群.
0???10??10???10??????,?,?,??,证明:G关于矩阵的乘法构成一???????1??0?1??0?1??01???1证明 将??0?的乘法表如下:
0??记作E,并将G中其余三个矩阵分别记作A,B,C.于是,G上1??· E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律,G上的乘法适合结合律.从乘法表可知,
EX?XE?X,XX?E,?X,Y?G.
所以G关于矩阵的乘法构成一个群.
3. 在整数集Z中,令a?b?a?b?2,?a,b?Z.证明:Z关于这样的乘法构成一个群.
4.在S5中,令
?12345??12345???,f??g??23154??13452??.
????求fg,gf和f?1.
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???ab?5.令S????cd??a,b,c,d?Z???????.证明S关于矩阵的乘法构成一个半群. ??
6．设G是一个群,证明:
(ab)?1?b?1a?1,?a,b?G.
7.设G是一个群,证明:G是交换群的充要条件是
(ab)2?a2b2,?a,b?G.
8．设G是一个群.假设对于任意的a?G都有a2?e,证明:G是交换群.
9. 设G?GLn(P)是数域P上的n级一般线性群,H是G的由全体n阶可逆的对角矩阵组成的子集,证明:H是G的子群.
10.设H是群G的子群,a?G,证明:aHa?1?{aha?1|h?H}也是G的子群(称为H的一个共轭子群).
11.设G是交换群,n?0为整数,令H?{a?G|an?e},证明:H是G的子群.
12.设G是交换群,证明:G的所有阶为有限的元素构成的集合是G的子群.
13.设G是群,a,b?G,证明:a与bab?1具有相同的阶.
14.设G是群,a,b?G,ab?ba.假设a的阶与b的阶互素,证明:|ab|?|a||b|.
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15.设G是一个群,H1,H2都是G的子群.假设H1不包含于H2且H2不包含于H1,证明:H1?H2 不是G的子群.
16.设G是一个群,G1?G2???Gn??是G的一个子群链,证明:??n?1Gn是G的子群.
17.证明:循环群是交换群.
证明 设G??a?是一个循环群.于是,G?{an|n?Z}(参看课本第12页倒数第4行).众所周知,aman?am?n?anam,?m,n?Z.所以G是交换群.
18.设G是无限循环群,证明:G有且仅有两个生成元.
证明 由于G是无限循环群,不妨设a是G的一个生成元.于是,a?1也是G的一个生成元,并且a?1?a.这就是说,G有两个不同的生成元.其次,假设b是G的任意一个生成元.由于G??a?,因此存在n?Z,使得b?an.由于G??b?且
a?G,因此存在k?Z,使得a?bk?ank.由此可见,n??1,即b?a或b?a?1.所
以G有且仅有两个生成元.
19.证明:循环群的商群也是循环群.
20.设G是群,Ni,i?I,是G的一族正规子群,证明:?i?INi也是G的正规子群.
21.设N1,N2是群G的正规子群且N1?N2?{e},证明:对于任意的
a?N1,b?N2,都有ab?ba.
22.设H是群G的子群且[G:H]?2,证明:H是G的正规子群.
23.设H是群G的有限子群,|H|?n.假设G只有一个阶为n的子群,证明:H是G的正规子群.
24.设G是群,H和K是G的子群, (1)证明:HK是G的子群?HK?KH.
(2)假设H是G的正规子群,证明:HK是G的子群.
(3)假设H和K都是G的正规子群,证明:HK是G的正规子群.
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