第2课时 椭圆方程及性质的应用
(教师用书独具)
●三维目标 1.知识与技能
掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识． 2．过程与方法
通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．
3．情感、态度与价值观
培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣． ●重点、难点
重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透． 难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．
教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．
(教师用书独具)
●教学建议
由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．
●教学流程
创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？?
引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.?
引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.
??
通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.
通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.?
错误!?错误!?错误!
(对应学生用书第25页)
1.掌握椭圆的方程及其性质的应用． 课标解读 (重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点) 【问题导思】 点与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外． x2y2
设点P(x0，y0)，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)．
ab
2
x2y00(1)点P在椭圆上?2＋2＝1；
ab2
x2y00
(2)点P在椭圆内?2＋2＜1；
ab2
x2y00(3)点P在椭圆外?2＋2＞1.
ab
点与椭圆的位置关系
【问题导思】 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．
2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 不能．
3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．
??y＝kx＋m，x2y2
直线y＝kx＋m与椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的位置关系联立?x2y2
ab
??a2＋b2＝1，
得一个一元二次方程．
位置关系 相交 相切 相离 解的个数 两解 一解 无解 Δ的取值 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
消y
(对应学生用书第26页)
直线与椭圆的位置关系的判定 x22
当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆＋y＝1相交、相切、相离？
4
【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得
??y＝x＋m， ①?x22 ??4＋y＝1， ②
x2
将①代入②得＋(x＋m)2＝1，
4整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0 Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－5或m＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆位置关系的步骤：
③
1
试判断直线y＝x－与椭圆x2＋4y2＝2的位置关系．
2
1??y＝x－2，【解】 联立方程组得?
22??x＋4y＝2，消去y，整理得5x2－4x－1＝0， Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，
即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．
直线与椭圆相交问题 (*)
x2y2
已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B
369
两点．
1
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
2(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P与A、B的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 11
【自主解答】 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
22
?y＝2x，
由?xy
?36＋9＝1，
2
2
1
可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝＝＝
?x1－x2?2＋?y1－y2?2
1?x1－x2?2＋?x1－x2?2
45 2
?x1＋x2?2－4x1x2＝5
×62＝310. 2
所以线段AB的长度为310.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．