（江苏专版）2019届高考数学一轮复习 6.1数列的有关概念 理
考点1 数列的概念及通项公式
1.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= . 答案 -
4.(2015重庆,22,12分)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μ=0(n∈N+). (1)若λ=0,μ=-2,求数列{an}的通项公式; (2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.
解析 (1)由λ=0,μ=-2,有an+1an=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,an≠0. 从而an+1=2an(n∈N+),即{an}是一个公比q=2的等比数列. 故an=a1q=3·2.
(2)由λ=,μ=-1,数列{an}的递推关系式变为 an+1an+an+1-=0,变形为an+1=(n∈N+). 由上式及a1=3>0,归纳可得 3=a1>a2>…>an>an+1>…>0. 因为an+1===an-+·,
所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-) =a1-k0·+· >2+·=2+.
另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2,得 =a1-k0·+· <2+·=2+. 综上,2+<<2+.
5.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值. 解析 (1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列. 故an=2. (2)由(1)得=, 所以Tn=++…+==1-. 由|Tn-1|<,得<,即2>1 000. 因为2=512<1 000<1 024=2,
9
10
n
nn-1
n-1
所以n≥10.
于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10. 考点2 数列的前n项和及性质
1.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N),则数列前10项的和为 . 答案
5.(2015课标Ⅰ,17,12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3. 可得-+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an). 由于an>0,可得an+1-an=2.
又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分) (2)由an=2n+1可知 bn===.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn = =.(12分)
6.(2015山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3+3. (1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn. 解析 (1)因为2Sn=3+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n>1时,2Sn-1=3+3,
此时2an=2Sn-2Sn-1=3-3=2×3,即an=3, 所以an=
(2)因为anbn=log3an, 所以b1=,
当n>1时,bn=3log33=(n-1)·3. 所以T1=b1=; 当n>1时,
Tn=b1+b2+b3+…+bn=+[1×3+2×3+…+(n-1)×3], 所以3Tn=1+[1×3+2×3+…+(n-1)×3], 两式相减,得
2Tn=+(3+3+3+…+3)-(n-1)×3 =+-(n-1)×3 =-,
1-n
0
-1
-2
2-n
1-n
0
-1
2-n
-1
-2
1-n
1-n
n-1
1-n
n
n-1
n-1
n-1
n-1
n
n*
所以Tn=-.
经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn=-.
7.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N). (1)证明:1≤≤2(n∈N);
(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N). 解析 (1)由题意得an+1-an=-≤0,即an+1≤an, 故an≤.
由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0. 由0 (2)由题意得=an-an+1, 所以Sn=a1-an+1.① 由-=和1≤≤2得1≤-≤2, 所以n≤-≤2n, 因此≤an+1≤(n∈N).② 由①②得≤≤(n∈N). ** * * *