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**4. 利用?f?df，可推出近似公式：f?x??x,y??y??f?x,y??df?x,y?， 并利用上式计算
?2.98?2??4.03?2的近似值．
解：由于f?x??x,y??y??f?x,y??df?x,y?，
设f?x,y??x2?y2，x?3,y?4,?x??0.02,?y?0.03，
xdx?ydyx?y22于是 df?x,y???x?x?y?yx?y22，
f?x??x,y??y??f?x,y??x?x?y?yx?y22，
∴
?2.98?2??4.03?2?32?42?3??0.02??4?0.03?3?422?5.012．
***5．已知圆扇形的中心角为??60，半径为r?20cm，如果?增加了1?，r减少了1cm，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：S??12??， r2180 dS??360(2(?dr?r2d?))，
2?20?60?(?1)(20)2?1?)??17.4533(cm2)． ∴ ?S?dS??(360360
????l??????fx,y,z?lnx?2y?3zP?1,2,0***6. 计算函数在点处沿给定方向 ?2i?j?k
的方向导数?．
P?f?l解：fx?1,x?2y?3zfy?2,x?2y?3zfz?3，
x?2y?3z
1???21el??,,??，
6??66∴ ???f?el??,,???P
?f?l?1?1?123??21． ,,???6?56?555??66.
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***7. 函数的值． 解：
在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数
，
，
，
其中为与的夹角，
所以
时，即与同向时，方向导数取最大值．
**8. 对函数 f(x,y,z)?e解： ?f?yze
xyz 求出 ?f(x,y,z) 以及 ?f(1,2,3).
?xyz,xzexyz,xyexyz，?f(1,2,3)?e6?6,3,2?．
?**9. 求函数f(x,y,z)?(x?y)在点P?(1ze?1e?11,,)处的梯度． 2221??11z?1?11(x?y)?1?解：?f??(x?y)z,(x?y)z,?ln(x?y)?， 2zzz?????f(
e?1e?11,,)?2e,2e,?4e2． 222??1?22,?x?ysin2***10. 讨论函数f(x,y)??x?y2??0,续性，可导性和可微性．
x2?y2?0x2?y2?0在点（0，0）处的连
.
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解：因为 ，
所以在点（0，0）连续．
因为 ，
极限不存在，
在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．
第 11 章（之4）（总第62次）
教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法
**1.解下列各题：
22243（1） 若函数f(u,v)可微，且有f(x,x)?x?2x?x及fu?(x,x)?2x?2x?1，则
fv? (x,x2)= ( )
(A) 2x?2x?1 (C) 2x?2x?1 答：(A)
（2）设函数
由方程
所确定，则
=_________．
22
(B) 2x?3x?221 2x
(D) 2x?3x?1
答： （3）方程
．
?z?z?3，在变量代换u?x?3y，v?3x?y下，可得新方程为_______. ?x?y答：
?z?0． ?u**2. 设求．
.
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解：
?u?2x?cos?sin???2ysin?sin??2zcos??2r， ?r
?u?2x[r(?sin?)sin?]?2y(rcos?sin?)?0， ???u?2x(rcos?cos?)?2y(rsin?cos?)?2zrsin??0． ??
**3. 一直圆锥的底半径以3cm/s的速率增加，高h以5cm/s的速率增加，试求r=15cm，h=25cm时其体积的增加速率． 解：V?12?rh， 3dV?Vdr?Vdh2?dr12dh?????rh??rdt?rdt?hdt3dt3dtdVr?15?1125?cm3/sdth?25
*4. 设z?ex?3y,而x?sint,y?t，求
4dz ． dtdzdxdy4t3x解：?zx?zy?ecost?2．
dtdtdt3y3
**5. 若z?xy?z2?z222xy?xy?xz?yz． ，证明：22?x?yf(x?y)yf?2x2yf?xf?2xy2f?解：zx?， ,zy?22ffxy(x2?y2)?x2z?y2z． 则 xyzx?xyzy?f22**6. 设 u?f(xe,ye,xycosx)，求
yx2?u?u,,du． ?x?y解：
?u?eyf1?yexf2?(ycos2x?xysin2x)f3 ， ?x?u?xeyf1?exf2?xcos2xf3， ?ydu?eyf1?yexf2?(ycos2x?xysin2x)f3dx?xeyf1?exf2?xcos2xf3dy．
????.
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**7. 求由方程
xz?z?z?ln所确定的函数z?z(x,y)的偏导数,．
?x?yzy1Fyz2yFxz??????解：zx??，zy??．
x1xy?yzxyFzFzx?z?2??2?zyzzz1z**8. 设F(xy,y?z,xz)?0, 试求
?z?z,,dz． ?x?y解：F(xy,y?z,xz)?0, 两边对x求导，得 yF1?zxF2?F3(z?xzx)?0， 解得 zx??yF1?zF3，
F2?xF3两边对y求导，得 xF1?F2(1?zy)?F3xzy?0． 解得zy??
***9. 函数导数，
yF1?zF3xF1?F2xF?F2dz??dx?1dy． ，所以
F2?xF3F2?xF3F2?xF3由方程，求
和
．
所确定，其中
具有连续一阶偏
解：，
，
， ．
***10. 求由方程量解：当
所确定的隐函数在坐标原点处沿由向
所确定的方向的方向导数．
时，
．
?z?x(0.0)?yzz2?xy?0,(0,0)?z?y(0.0)?xzz2?xy?0，
(0,0)．
.