E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥CD； （3）若?PDA＝45?，
求EF与平面ABCD所成的角的大小．
19.（本题满分13分）
xx33?设向量a?(cos,sin),向量b?(sinx,cosx),x?[0,].
22222 （Ⅰ）求a?b及|a?b|；
（Ⅱ）若函数f(x)?a?b?2|a?b|，求f(x)的最小值、最大值.
20.（本题满分13分）某港口海水的深度y（米）是时间t（时）（0?t?24）
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的函数，记为：y?f(t) 已知某日海水深度的数据如下： t（时）0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 y（米） 10.0 经长期观察，y?f(t)的曲线可近似地看成函数y?Asin?t?b的图象 （I）试根据以上数据，求出函数y?f(t)?Asin?t?b的振幅、最小正周期和表达式；
（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为
是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
?21.（本题满分13分）（本小题满分12分）函数y?sin(?x??)(??0,??)在
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同一个周期内，当x??4 时y取最大值1，当x?7?时，y取最小值?1. 12（1）求函数的解析式y?f(x).
（2）函数y?sinx的图象经过怎样的变换可得到y?f(x)的图象？
（3）若函数f(x)满足方程f(x)?a(0?a?1),求在[0,2?]内的所有实数根之和.
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高一年级期中检测试卷数学答案
一、选择题（每小题5分，10个小题共50分） CBCCD CADAC
二、填空题（每小题5分，5个小题共25 分）
156?11 12 13 13 ? 14 15 ②④
8656三、解答题（本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
2?tan?1? 16 （本题满分12分）解：（1）将分子分母同时除以cosa得，原式=
3?tan?1011sin2??3sin?cos??4cos2?tan2??3tan??4 （2）原式= = = 2225sin??cos?tan??117（本题满分12分）
x3xx3x3xx?sin(?)?sin2x, 解：（I）a?b?cossin?sincos222222?|a?b|?(a?b)?a?b?2a?b?2?2sin2x, ?|a?b|?2?2sin2x?2(1?sin2x)?2(sinx?cosx)2
2222 ?2(sinx?cosx)(x?[0,]).
2? （II）由（I）得：f(x)?sin2x?2(sinx?cosx)?2sinxcosx?2(sinx?cosx).
?令sinx?cosx?t,?x?[0,],?t?[1,2],?2sinx?cosx?t2?1,
2?y?t2?1?2t?(t?1)2?2,t?[1,2]. ?当t?1时,ymin?2;当t?2时，ymax?1?22.
P 18（本题满分12分）
证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
A （1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
D ∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，
E O ∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又
C B
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………② F 综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD ∵ EF ? 平面EFO ∴ EF∥平面PAD． （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
11∥∥ （3）若?PDA＝45?，则 PA＝AD＝BC ∵ EO＝2 BC，FO＝2 PA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ?FEO＝45?．
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19（本题满分13分）解：（1）m??2；（2）cos???255；（3）m不存在；
20（本题满分13分）
解：（I）依题意有：最小正周期为： T=12
2???? y?f(t)?3sin(?t)?10 振幅：A=3，b=10， ??T66 （II）该船安全进出港，需满足：y?6.5?5
??1即：3sin(?t)?10?11.5 sin(?t)?
662??5?k?Z ∴2k????t?2k??66612k?1?t?12k?5k?Z
又 0?t?24 ?1?t?5或13?t?17
依题意：该船至多能在港内停留：17?1?16（小时）
21（本题满分13分）
2?7????2?(?)解：(1)?124
???333?????2k??, 又因sin(???)?1,?442???又???,????, ?函数f(x)?sin(3x?)
244??(2)y?sinx的图象向右平移个单位得y?sin(x?)的图象
44?1再由y?cos(x?)图象上所有点的横坐标变为原来的.纵坐标不变，得到
43?y?sin(3x?)的图象，
4?2(3)?f(x)?sin(3x?)的周期为?
43??y?sin(3x?)在[0,2?]内恰有3个周期，
4??并且方程?sin(3x?)?a(0?a?1)在[0,2?]内有6个实根且x1?x2?
421119同理，x3?x4??,x5?x6??,
66?11?19?11???故所有实数之和为?
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