12.设随机变量X～U(?1,2)，求Y?|X|的概率密度。 13.设随机变量X～N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
?2?x 0?x??14.设随机变量X的概率密度为p(x)???2，求Y?sinX的概率密度。
?? 0 其余?2X?2X15.设随机变量X服从参数为2的指数分布，试证Y1?e和Y2?1?e都服从区间(0,1)上的均匀分布。
16.某车间有同型号的机床200台，在一小时内每台机床约有70%的时间是工作的。假定各机床工作是相互独立的，工作时每台机床要消耗电能15kw。问至少要多少电能，才可以有95%的可能性保证此车间正常生产。（利用中心极限定理作近似计算，?(3.1)?0.999,48?6.93，）
17.抛掷一颗均匀的骰子，为了至少有95％的把握使点6向上的频率与概率1/6之差落在0.01的范围之内，问需要抛掷多少次。（利用中心极限定理作近似计算，?(1.96)?0.975）
18.某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，密度函数为
?1?x/600e,x?0?。试求：此仪器在最初使用的200h内，至少有一个此种电子元件损坏的概率。 p(x)??600?x?0?0,X?0?1,1?|x|19.已知随机变量X的概率密度函数为p(x)?e,???x???。另设Y??，求Y的分布律和分布
2?1,X?0?函数。
20.某地区成年男子的体重X（kg）服从正态分布N(?,?)。若已知P(X?70)?0.5，P(X?60)?0.25。（1）求?与?各为多少？（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg的概率.(?(0.675)?0.75,?(0.3376)?0.6322)
21.从1，2，3，4，5五个数中中任取三个，按大小排列记为x1?x2?x3，令X?x2，试求（1）X的分布函数；（2）
2P(X?2)及P(X?4)。
22.两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4，第二名队员投中的概率为0.6，
求投篮总次数的概率分布律及其数学期望。
23.在1、2、3、…、10中等可能取一整数，以X记除得尽这一整数的正整数的个数，求X的分布律及分布函数，数学期望。
24.掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0 25.设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为p(0 26.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周５个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润0 元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？ x?1cos,0?x???27.设随机随机变量X的概率密度函数为p(x)??2，对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于2?其余?0,?/3的次数，求Y2的数学期望。 28.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以min计）服从指数分布，其密度函数为 x?1?5?e,x?0，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一p(x)??5?0,其余?个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求P(Y?1)。 29.某单位招聘员工，共有10000人报考，假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人。现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？ 30.向某一目标发射炮弹，设炮弹弹着点离目标的距离为X（单位：10m），X服从瑞利分布，其概率密度为 ?2x?x2/25,x?0?e，若弹着点离目标不超过5个单位时，目标被摧毁。 p(x)??25?x?0?0,（1）求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率； （2）为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94，问至少需要独立发射多少枚炮弹。 31.设随机变量X～N(0,1)，求Y?|X|的概率密度。 32.设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y?X2的概率密度。 33.设随机变量X的概率密度为p(x)?34.设随机变量X在[?12，求,???x???Y?aX ?a?0?的概率密度。 2??1?x???,)上均匀分布，求Y?cosX的概率密度。 22?1(lnx??)2exp{?},y?0?35.设随机变量X的概率密度为p(x)??2?x?。 2?2?0,y?0?（1）试证：Y?lnX～N(?,?)； （2）设??5,??0.12，试求P(X?188.7)。(ln188.7?5.24,?(2)?0.9772) 36.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。其天售出300只蛋糕，求这天收入至少400（元）的概率。（利用中心极限定理作近似计算） 37.某产品的合格品率为99%，问包装箱中应该装有多少个此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。（利用中心极限定理作近似计算，?(1.65)?0.95） 20?x?2,?ax,3?38.设随机变量X的概率密度为p(x)??cx?b,2?x?4, 已知E(X)?2,P(1?X?3)?.求常数a,b,c. 4?0,其余.?39.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X服从参数为?的泊松分布，若已知P(X?1)?P(X?2),且该 X2?2.试求（1）参数?的值；柜台销售情况Y（千元），满足Y?（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率； 2（3）该柜台每小时的平均销售情况E(Y). 40.设随机变量X的概率密度为p(x)??函数. ?ax?b,?0,0?x?1,其他. 且E(X)?7.求(1)常数a,b; (2) Var(X); (3)X的分布12第三章 复习题 一 解答题 XY1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为01(A) 0 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3 01200.10.2,则P(X?0)?( ) 0.40.302.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x)??(A) 0.25 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 1 ?0.5,?0,0?x?1,0?y?2,其他. 则P(X?0.5,Y?1)?( ) ?122?,x?y?1,3.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x,y)??? 则随机变量X和Y为（ ）。 ?其他.?0,(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布 4.设随机变量X和Y的方差分别是Var(X)?25,Var(Y)?36,相关系数corr(X,Y)?0.4.则Var(X?Y)?（ ） (A) 85 (B) 61 (C.) 37 (D) 24 25.随机变量X和Y相互独立，且方差Var(X)??12,Var(Y)??2,(?1?0,?2?0)，k1,k2是已知常数，则 Var(k1X?k2Y)等于( )。 222222222222(A) k1?1?k2?2 (B) k1?1?k2?2 (C)k1?1?k2?2 (D) k1?1?k2?2 6.随机变量X和Y相互独立，且方差Var(X)?2，Var(Y)?1.5，则Var(3X?2Y?1)等于( )。 (A) 9 (B) 24 (C) 25 (D) 2 7.如果随机变量X和Y不相关，则正确的是( )。 (A) Var(aX?bY)?aVar(X)?bVar(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C)Var(XY)?Var(X)Var(Y) (D) E(XY)?E(X)E(Y) 8.如果随机变量X和Y独立，则正确的是( )。 (A) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (B) Var(2X?Y)?2Var(X)?Var(Y) (C) Var(3X?2Y)?9Var(X)?4Var(Y) (D) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) 9.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则X2?Y2~（ ） (A) N(0,2) (B) ?2(2) (C) t(2) (D) F(1,1) 10.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，下面给定各组数值中应取（ ）。 (A)a?,b??352221313 (B) a?,b? (C)a??,b? (D)a?,b?? 5332222XY11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 1231，则当（ ）时，X和Y相互独立。 18116912?321121(A)??,?? (B) ??,?? (C) ??,?99993112.X和Y为两随机变量，且P(X?0,Y?0)?(A) ??221 (D) ??,?? 333等于（ ）。 34，P(X?0)?P(Y?0)?，则P(max{,X}Y0)?773456 (B) (C) (D) 777713.设随机变量X和Y相互独立，且Xb(10,0.3)，Yb(10,0.4)，则E(2X?Y)2等于（ ）。 (A)12.6 (B)14.8 (C)15.2 (D)18.9 114.设随机变量X1,X2,X3相互独立，且都服从参数为?的泊松分布，令Y?(X1?X2?X3)，则Y2的数学期望为 3（ ）。 ?2???2??2(A) (B) ?? (C) (D) 333315.设随机变量X与Y相互独立，均服从区间[0，1]上的均匀分布，则( )。 (A) X?Y服从[0，2]上的均匀分布； (B) X?Y服从[??1，1]上的均匀分布； (C) max{X,Y}服从[0，1]上的均匀分布； (D) (X,Y)服从区域??0?x?1上的均匀分布。 0?y?1?16.设随机变量X1,X2都服从区间[0，2]上的均匀分布，则E(X1?X2)=（ ）。 (A) 1 (B) 2 (C) 0.5 (D) 4 17.设随机变量XN(3,4)，Y服从参数为0.2的指数分布，则下列各式错误的是（ ）。 (A) E(X?Y)?8 (B) Var?X?Y??29 (C) E(X2?Y2)?63 (D) E??XY5?????0 252??18.设随机变量XiN(0,1),i?1,2，Y?X1?X2，则（ ）。 (A) YN(0,1) (B) YN(0,2) (C) E(Y)?0 (D) Var(Y)?2 19.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X与Y相互独立的充分必要条件是( )。 (A) X与Y不相关 (B)E(XY)?E(X)E(Y) (C)cov(X,Y)?0 (D) E(X)?E(Y)?0 20.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(别为（ ）。 x??arctany),???x,y???，则常数A，B分221?1?1?2, (B) 2, (C)?2, (D) , ?2?4?2?2221.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(?1,?2,?1,?2,?),若X与Y相互独立，则( ) (A) (A) ??0 (B) ??1 (C) ??0 (D) ???1 XY22.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 123?1010.20.10.1 ,则P(X?Y?1)?( ) 0.10.10.20.10.10(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.1 23.设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，令Z?X?Y，则有（ ） (A) E(Z)?0 (B) E(Z)?2 (C) D(Z)?0 (D) D(Z)?2 24.已知随机变量X与Y的方差，Var(X)?4，Var(Y)?9，协方差cov(X,Y)?2，则V ar(2X?Y)等于( )。(A) 25 (B) 13 (C) 17 (D) 21 25.已知随机变量X与Y的方差，Var(X)?9，Var(Y)?16，相关系数corr(X,Y)?0.5，则Var(X?Y)等于( )。 (A) 19 (B)13 (C) 37 (D) 25 26.5个灯泡的寿命X1,X2,X3,X4,X5相互独立同分布且E(Xi)?a，Var(Xi)?b(i?1,2,3,4,5)，则5个灯泡的平均寿命Y?1(X1?X2?X3?X4?X5)的方差Var(Y)=( )。 5(A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b 27.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量X与Y相互独立时，下列关系式中错误的是( )。 (A) E(XY)?E(X)E(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (D) cov(X,Y)?0 28.设对于任意两个随机变量X和Y且满足：E(XY)?E(X)E(Y)。则下述结论肯定正确的是( )。 (A) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C) X与Y相互独立 (D)X与Y不相互独立 29.设X与Y是两个相互独立的随机变量，Var(X)?4,Var(Y)?2，随机变量Z?3X?2Y，则Var(Z)?( )。 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 30.设随机变量X,Y独立同分布，记??X?Y, ??X?Y，则随机变量?与?之间的关系必然是( )。 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数等于0 (D) 相关系数不为0 31.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且E(X)?E(Y)?0，Var(X)?1，Var(Y)?4，corr(X,Y)?1，若2。 Z?aX?Y与Y独立，则a等于（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 32.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（ ） 1 (D)1 233.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X?Y的方差是（ ） (A)8 (B)16 (C)28 (D)38 34.设二维随机变量(X,Y)，则随机变量U?X?Y与V?X?Y不相关的充分必要条件为（ ） (A)?1 (B)0 (C) (A)E(X)?E(Y) (B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 (C) E(X2)?E(Y2) (D) E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 35.X和Y为两随机变量，且P(X?0,Y?0)?(A) 3，则P(min{X,Y}?0)等于（ ）。 73456 (B) (C) (D) 7777X0136.设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律，且X的分布律为11，则随机变量Z?max{X,Y}的 Pr.22分布律为（ ）。 Z01Z01Z01Z012(A) 111 11 (B) 13 (C) 31 (D) Pr.Pr.Pr.Pr.442224444XY37.设二维随机变量(X,Y)的分布律 0121611 , 则Var(3X)?( ) 616012 (B) 2 (C) 4 (D) 6 938.设随机变量X~N(?1,3),Y~N(1,2),且X和Y相互独立，则X?2Y~（ ）。 (A)N(1,10) (B) N(1,11) (C) N(1,5) (D) N(1,7) (A) 39.设随机变量X和Y相互独立, 且都服从参数为λ的泊松分布, 则X+Y与2X的关系是（ ） (A) 有相同的分布 (B)有相同的数学期望 (C) 有相同的方差 (D)以上均不成立 40.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(2,1),Y~N(1,1), 则（ ） (A)P(X?Y?1)? 二 填空题 22??kxye?(x?y),x?0,y?0,1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x,y)??，则常数k=___________。 ?其余，?0,2.设二维随机变量(X,Y)在边长为2,中心为(0,0)的正方形区域内服从均匀分布,则的联合概率密度，则 P(X2?Y2?1)=____________________。 1111 (B) P(X?Y?0)? (C) P(X?Y?1)? (D) P(X?Y?0)? 22223.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是p(x,y)?分布密度为_________________。 12??e2?x2?y22?2 , ???x,y???,(?>0) ，则可得关于X边缘 1(X1?X2?X3?X4)服从的分44.设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且都服从正态分布N(?,?) (??0)，则布是_____________________。 2