数学与应用数学概率统计复习题(2011级)有答案

12.设随机变量X~U(?1,2),求Y?|X|的概率密度。 13.设随机变量X~N(0,1),求Y?X2的概率密度。

?2?x 0?x??14.设随机变量X的概率密度为p(x)???2,求Y?sinX的概率密度。

?? 0 其余?2X?2X15.设随机变量X服从参数为2的指数分布,试证Y1?e和Y2?1?e都服从区间(0,1)上的均匀分布。

16.某车间有同型号的机床200台,在一小时内每台机床约有70%的时间是工作的。假定各机床工作是相互独立的,工作时每台机床要消耗电能15kw。问至少要多少电能,才可以有95%的可能性保证此车间正常生产。(利用中心极限定理作近似计算,?(3.1)?0.999,48?6.93,)

17.抛掷一颗均匀的骰子,为了至少有95%的把握使点6向上的频率与概率1/6之差落在0.01的范围之内,问需要抛掷多少次。(利用中心极限定理作近似计算,?(1.96)?0.975)

18.某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h)都服从同一指数分布,密度函数为

?1?x/600e,x?0?。试求:此仪器在最初使用的200h内,至少有一个此种电子元件损坏的概率。 p(x)??600?x?0?0,X?0?1,1?|x|19.已知随机变量X的概率密度函数为p(x)?e,???x???。另设Y??,求Y的分布律和分布

2?1,X?0?函数。

20.某地区成年男子的体重X(kg)服从正态分布N(?,?)。若已知P(X?70)?0.5,P(X?60)?0.25。(1)求?与?各为多少?(2)若在这个地区随机地选出5名成年男子,问其中至少有两人体重超过65kg的概率.(?(0.675)?0.75,?(0.3376)?0.6322)

21.从1,2,3,4,5五个数中中任取三个,按大小排列记为x1?x2?x3,令X?x2,试求(1)X的分布函数;(2)

2P(X?2)及P(X?4)。

22.两名篮球队员轮流投篮,直到某人投中时为止,如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6,

求投篮总次数的概率分布律及其数学期望。

23.在1、2、3、…、10中等可能取一整数,以X记除得尽这一整数的正整数的个数,求X的分布律及分布函数,数学期望。

24.掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为p(0

25.设一个试验只有两个结果:成功或失败,且每次试验成功的概率为p(0

26.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利10万元;发生一次故障仍可获利5万元;发生二次故障所获利润0 元;发生三次或三次以上故障要亏损2万元。求一周内期望利润是多少?

x?1cos,0?x???27.设随机随机变量X的概率密度函数为p(x)??2,对X独立重复观察4次,Y表示观察值大于2?其余?0,?/3的次数,求Y2的数学期望。

28.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其密度函数为

x?1?5?e,x?0,某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开。他一个月要到银行5次,以Y表示一p(x)??5?0,其余?个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y?1)。

29.某单位招聘员工,共有10000人报考,假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359人,60分以下有1151人。现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者中最低分为多少?

30.向某一目标发射炮弹,设炮弹弹着点离目标的距离为X(单位:10m),X服从瑞利分布,其概率密度为

?2x?x2/25,x?0?e,若弹着点离目标不超过5个单位时,目标被摧毁。 p(x)??25?x?0?0,(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率;

(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问至少需要独立发射多少枚炮弹。 31.设随机变量X~N(0,1),求Y?|X|的概率密度。

32.设随机变量X服从参数为1的指数分布,求Y?X2的概率密度。 33.设随机变量X的概率密度为p(x)?34.设随机变量X在[?12,求,???x???Y?aX ?a?0?的概率密度。 2??1?x???,)上均匀分布,求Y?cosX的概率密度。 22?1(lnx??)2exp{?},y?0?35.设随机变量X的概率密度为p(x)??2?x?。 2?2?0,y?0?(1)试证:Y?lnX~N(?,?);

(2)设??5,??0.12,试求P(X?188.7)。(ln188.7?5.24,?(2)?0.9772)

36.一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。其天售出300只蛋糕,求这天收入至少400(元)的概率。(利用中心极限定理作近似计算)

37.某产品的合格品率为99%,问包装箱中应该装有多少个此种产品,才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。(利用中心极限定理作近似计算,?(1.65)?0.95)

20?x?2,?ax,3?38.设随机变量X的概率密度为p(x)??cx?b,2?x?4, 已知E(X)?2,P(1?X?3)?.求常数a,b,c.

4?0,其余.?39.某柜台做顾客调查,设每小时到达柜台的顾额数X服从参数为?的泊松分布,若已知P(X?1)?P(X?2),且该

X2?2.试求(1)参数?的值;柜台销售情况Y(千元),满足Y?(2)一小时内至少有一个顾客光临的概率; 2(3)该柜台每小时的平均销售情况E(Y).

40.设随机变量X的概率密度为p(x)??函数.

?ax?b,?0,0?x?1,其他. 且E(X)?7.求(1)常数a,b; (2) Var(X); (3)X的分布12第三章 复习题

一 解答题

XY1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为01(A) 0 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3

01200.10.2,则P(X?0)?( ) 0.40.302.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x)??(A) 0.25 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 1

?0.5,?0,0?x?1,0?y?2,其他. 则P(X?0.5,Y?1)?( )

?122?,x?y?1,3.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x,y)??? 则随机变量X和Y为( )。

?其他.?0,(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布

4.设随机变量X和Y的方差分别是Var(X)?25,Var(Y)?36,相关系数corr(X,Y)?0.4.则Var(X?Y)?( ) (A) 85 (B) 61 (C.) 37 (D) 24

25.随机变量X和Y相互独立,且方差Var(X)??12,Var(Y)??2,(?1?0,?2?0),k1,k2是已知常数,则

Var(k1X?k2Y)等于( )。

222222222222(A) k1?1?k2?2 (B) k1?1?k2?2 (C)k1?1?k2?2 (D) k1?1?k2?2

6.随机变量X和Y相互独立,且方差Var(X)?2,Var(Y)?1.5,则Var(3X?2Y?1)等于( )。 (A) 9 (B) 24 (C) 25 (D) 2

7.如果随机变量X和Y不相关,则正确的是( )。

(A) Var(aX?bY)?aVar(X)?bVar(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C)Var(XY)?Var(X)Var(Y) (D) E(XY)?E(X)E(Y)

8.如果随机变量X和Y独立,则正确的是( )。

(A) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (B) Var(2X?Y)?2Var(X)?Var(Y) (C) Var(3X?2Y)?9Var(X)?4Var(Y) (D) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) 9.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1),且X与Y相互独立,则X2?Y2~( ) (A) N(0,2) (B) ?2(2) (C) t(2) (D) F(1,1)

10.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数,下面给定各组数值中应取( )。 (A)a?,b??352221313 (B) a?,b? (C)a??,b? (D)a?,b?? 5332222XY11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

1231,则当( )时,X和Y相互独立。 18116912?321121(A)??,?? (B) ??,?? (C) ??,?99993112.X和Y为两随机变量,且P(X?0,Y?0)?(A)

??221 (D) ??,?? 333等于( )。

34,P(X?0)?P(Y?0)?,则P(max{,X}Y0)?773456 (B) (C) (D) 777713.设随机变量X和Y相互独立,且Xb(10,0.3),Yb(10,0.4),则E(2X?Y)2等于( )。 (A)12.6 (B)14.8 (C)15.2 (D)18.9

114.设随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从参数为?的泊松分布,令Y?(X1?X2?X3),则Y2的数学期望为

3( )。

?2???2??2(A) (B) ?? (C) (D)

333315.设随机变量X与Y相互独立,均服从区间[0,1]上的均匀分布,则( )。

(A) X?Y服从[0,2]上的均匀分布; (B) X?Y服从[??1,1]上的均匀分布; (C) max{X,Y}服从[0,1]上的均匀分布; (D) (X,Y)服从区域??0?x?1上的均匀分布。

0?y?1?16.设随机变量X1,X2都服从区间[0,2]上的均匀分布,则E(X1?X2)=( )。

(A) 1 (B) 2 (C) 0.5 (D) 4

17.设随机变量XN(3,4),Y服从参数为0.2的指数分布,则下列各式错误的是( )。 (A) E(X?Y)?8 (B) Var?X?Y??29 (C) E(X2?Y2)?63 (D) E??XY5?????0 252??18.设随机变量XiN(0,1),i?1,2,Y?X1?X2,则( )。

(A) YN(0,1) (B) YN(0,2) (C) E(Y)?0 (D) Var(Y)?2

19.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则下列条件中不是X与Y相互独立的充分必要条件是( )。 (A) X与Y不相关 (B)E(XY)?E(X)E(Y) (C)cov(X,Y)?0 (D) E(X)?E(Y)?0 20.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(别为( )。

x??arctany),???x,y???,则常数A,B分221?1?1?2, (B) 2, (C)?2, (D) , ?2?4?2?2221.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(?1,?2,?1,?2,?),若X与Y相互独立,则( )

(A)

(A) ??0 (B) ??1 (C) ??0

(D) ???1

XY22.设二维随机变量(X,Y)的分布律为

123?1010.20.10.1 ,则P(X?Y?1)?( )

0.10.10.20.10.10(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.1

23.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1),令Z?X?Y,则有( ) (A) E(Z)?0 (B) E(Z)?2 (C) D(Z)?0 (D) D(Z)?2

24.已知随机变量X与Y的方差,Var(X)?4,Var(Y)?9,协方差cov(X,Y)?2,则V ar(2X?Y)等于( )。(A) 25 (B) 13 (C) 17 (D) 21

25.已知随机变量X与Y的方差,Var(X)?9,Var(Y)?16,相关系数corr(X,Y)?0.5,则Var(X?Y)等于( )。

(A) 19 (B)13 (C) 37 (D) 25

26.5个灯泡的寿命X1,X2,X3,X4,X5相互独立同分布且E(Xi)?a,Var(Xi)?b(i?1,2,3,4,5),则5个灯泡的平均寿命Y?1(X1?X2?X3?X4?X5)的方差Var(Y)=( )。 5(A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b

27.下面的数学期望与方差都存在,当随机变量X与Y相互独立时,下列关系式中错误的是( )。 (A) E(XY)?E(X)E(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (D) cov(X,Y)?0

28.设对于任意两个随机变量X和Y且满足:E(XY)?E(X)E(Y)。则下述结论肯定正确的是( )。

(A) Var(XY)?Var(X)Var(Y) (B) Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y) (C) X与Y相互独立 (D)X与Y不相互独立

29.设X与Y是两个相互独立的随机变量,Var(X)?4,Var(Y)?2,随机变量Z?3X?2Y,则Var(Z)?( )。 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44

30.设随机变量X,Y独立同分布,记??X?Y, ??X?Y,则随机变量?与?之间的关系必然是( )。 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数等于0 (D) 相关系数不为0

31.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)?E(Y)?0,Var(X)?1,Var(Y)?4,corr(X,Y)?1,若2。 Z?aX?Y与Y独立,则a等于( )

(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4

32.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )

1 (D)1 233.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?Y的方差是( ) (A)8 (B)16 (C)28 (D)38

34.设二维随机变量(X,Y),则随机变量U?X?Y与V?X?Y不相关的充分必要条件为( )

(A)?1 (B)0 (C)

(A)E(X)?E(Y) (B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 (C) E(X2)?E(Y2) (D) E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 35.X和Y为两随机变量,且P(X?0,Y?0)?(A)

3,则P(min{X,Y}?0)等于( )。 73456 (B) (C) (D) 7777X0136.设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律,且X的分布律为11,则随机变量Z?max{X,Y}的

Pr.22分布律为( )。

Z01Z01Z01Z012(A) 111 11 (B) 13 (C) 31 (D)

Pr.Pr.Pr.Pr.442224444XY37.设二维随机变量(X,Y)的分布律

0121611 , 则Var(3X)?( ) 616012 (B) 2 (C) 4 (D) 6 938.设随机变量X~N(?1,3),Y~N(1,2),且X和Y相互独立,则X?2Y~( )。 (A)N(1,10) (B) N(1,11) (C) N(1,5) (D) N(1,7)

(A)

39.设随机变量X和Y相互独立, 且都服从参数为λ的泊松分布, 则X+Y与2X的关系是( ) (A) 有相同的分布 (B)有相同的数学期望 (C) 有相同的方差

(D)以上均不成立

40.设随机变量X和Y相互独立,且X~N(2,1),Y~N(1,1), 则( ) (A)P(X?Y?1)?

二 填空题

22??kxye?(x?y),x?0,y?0,1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为p(x,y)??,则常数k=___________。

?其余,?0,2.设二维随机变量(X,Y)在边长为2,中心为(0,0)的正方形区域内服从均匀分布,则的联合概率密度,则 P(X2?Y2?1)=____________________。

1111 (B) P(X?Y?0)? (C) P(X?Y?1)? (D) P(X?Y?0)? 22223.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是p(x,y)?分布密度为_________________。

12??e2?x2?y22?2 , ???x,y???,(?>0) ,则可得关于X边缘

1(X1?X2?X3?X4)服从的分44.设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且都服从正态分布N(?,?) (??0),则布是_____________________。

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