第五章 向量代数与空间解析几何
5.1向量
既有大小又有方向的量
??表示：AB或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作|AB|、|a|、|a| 1． 方向余弦：(cos?,cos?,cos?)??,,??|r||r||r???xyz?（x，y，z）,| r |=?? r＝|?x?y?z
2222． 单位向量 a?(cos?,cos?,cos?) 模为1的向量。
?3． 模 |a|?x?y?z?222???a?a
?4． 向量加法（减法） a?b?(x1?x2,y1?y2,z1?z2) 5． a·b＝| a |·| b |cos??x1x2?y1y2?z1z2
a⊥b?a·b＝0（a·b＝b·a）
6． 叉积、外积
ijaybykaz bzx1x2?y1y2?z1z2
|a?b| =| a || b |sin?= axbxa//b?a?b＝0.( a?b= - b?a) ???
7． 数乘：ka?ka?(kx,ky,kz)
????例1 |a|?2,|b|?1，a与b夹角为
???????3??，求|a?b|。
???????解 |a?b|?
?(a?b)?(a?b)?2a?a?2a?b?b?b?7
|a|?2|a||b|cos??|b|
2???22?2?2?1?cos?3?1?例2 设(a?b)?c?2，求[(a?b)?(b?c)]?(c?a)。
解 根据向量的运算法则
[(a?b)?(b?c)]?(c?a)
1
?[(a?b)?b?(a?b)?c]?(c?a)
?[(a?b)?b]?(c?a)?[(a?b)?c]?(c?a) ?(a?b)?(c?a)?[(a?b)?c]?a ?(a?b)?c?(a?c)?a?(b?c)?a ?(a?b)?c?(a?b)?c ?2(a?b)?c?4
例3 设向量a?i?j?k，b?3i?4j?5k，x?a??b，?为实数，试证：当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。
22解 由a?i?j?k，b?3i?4j?5k得|a|?3,|b|?50，a?b?12，于是
|x|?(a??b)?|a|??|b|?2?a?b
6?3? ?3?24??50??50?????25?25?2222222
由此可知，当???625时，模|x|最小，因而x?a?15??7b??,?,?? 252525??256故
15??7x?b??,?,???(3,?4,5)?0
252525??所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。
8． 向量的投影
Prjab＝|b|cos?为向量b在向量a上的投影。a·b＝| a |Prjab
5.2空间平面与直线 5.2.1 空间平面
点法式方程：与定点p0(x0,y0,z0)连线和非零向量n＝（a，b，c）垂直的点的集合。
a(x?x0)?b(y?y0)?c(z?z0)?0。
平面的一般方程：Ax?By?Cz?D?0，n＝（A，B，C）
2
截距式方程：
xa?yb?zc?1
z?z1z2?z1?0 z3?z1x?x1y?y1y2?y1y3?y1三点式方程 x2?x1x3?x1例1 求过O(0,0,0)，A(1,3,2)，B(2,?1,?1)点的平面方程
???????ij3?1k2?(?1,5,?7)。 ?1解（1）点法式 n＝OA?OB?12则平面方程为?(x?0)?5(y?0)?7(z?0)?0，即x?5y?7z?0。 解（2）设平面方程为Ax?By?Cz?D?0，代入O(0,0,0)得D?0。
?A?3B?2C?0?2A?B?C?0代入A(1,3,2)，B(2,?1,?1)得?解之得B??5A,C?7A
代入方程消去A，得方程为x?5y?7z?0
例2 一平面通过点(1,2,3)，它在正x轴，正y轴上的截距相等，问此平面在三坐标面
上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。 有
1a解 依题意设所求平面的截距式方程为
?2a?3c?1，解之c?3aa?3xa?ya?zc?1，由于点(1,2,3)在此平面上，故
。
1a3 四面体之体积V?9216a?a?3aa?3?2a?3?，V??13a(a?3)?a2(a?3)223，
令V??0得a?,c?9。
例3 求过点A(1,1,?1)，B(?2,?2,2)和C(1,?1,2)三点的平面方程。
x?1y?1?3?2z?133?0
解 由三点式方程?30故所求方程为?3(x?1)?9(y?1)?6(z?1)?0，即x?3y?2z?0
3
5.2.2 空间直线
方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.
?若设已知向量为v?(l,m,n)，则直线的对称式方程为
?A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C2z?D2?0x?x0l?y?y0m?z?z0n
一般式方程：?
?x?x0?mt,?参数式方程：?y?y0?nt,
?z?z?pt.0?例1 求过点(1,1,2)点，且与直线??y?3x?1?z?2x?5平行的直线方程
?x?x??解 将直线写成?y?3x?1，以x为参数，则v?(1,3,2)，故直线方程为
?z?2x?5?
x?11?y?13?z?22
例2 求过点p0(?1,2,?3)且平行于平面?:6x?2y?3z?1?0，又与直线
x?13?y?12?z?3?5相交的直线方程。
?????解 设Q(x,y,z)为两直线的交点，则P0Q//?,P0Q?n?0,即
6(x?1)?2(y?2)?3(z?3)?0，
（1） （2）
又Q在L上：
x?13?y?12?z?3?5
令（2）=t 解得x, y, z代入(1)解得t?0，在反代入（2）得Q的坐标为(1,?1,3)，得直线为
x?12?y?2?3?z?36
5.3点、平面、直线的位置关系
1． 点到平面的距离
点P0(x0,y0z0)到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：
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