工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案

第十二章 压杆的稳定性

12-1 图示细长压杆,两端为球形铰支,弹性模量E?200GPa,对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。(1)圆截面,d?25mm,l?1.0m;(2)矩形截面,h?2b?40mm,

l?1.0m;(3)16号工字钢,l?2.0m。

解:结构为两端铰支,则有??1,0,Plj??2EIl2

(1)圆截面杆,I?(2)矩形截面杆,

?d464,Plj??3?(0.025)4(1.0)?642?200?109?37.6?103?37.6kN

bh320?2?2?043?0?11023493??40mmP,lj??20?01?0?53N1?0kN 53 I?212121?2(1.0)(3)16号工字查型钢表知

I?1130cm,Plj?4?2?1130?10?8?200(2.0)2?109?461?103N?461kN

dPlj?xblhvxy

题12-1图 题12-2图

12-2 图示为下端固定,上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l,在临界力

plj作用下杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z轴的惯性

矩为I,试推导其临界压力plj的欧拉公式,并求出压杆的挠曲线方程。

解:M(x)??(??v),结合 EIv???M(x)设k? V???kv?k? 通解为v?Asinkx?Bcoskx??

边界条件:x?0,v?0,则B???0,解出B???

222?EI,则有微分方程:

x?0,v??0(转角为零),A?k?0,解出A?0 解得挠曲线方程为:v??(1?coskx)

因为v在x?l处为?,则??coskl?0,由于??0,可得:coskl?0,kl?而k?2?2 (最小值)

?EI,得Plj??2EI(2l)2

注:由coskl?0,本有kl?n???2?0,计算可见n?0(kl??2时),对应的P值

是最小的,这一点与临界力的力学背景是相符的。

12-3 某钢材,?p?230MPa,?s?274MPa,E?200GPa,?lj?338?1.22?,试计算?p和?s值,并绘制临界应力总图(0???150)。 解:?P??E?P?92.6,?s?a??s?52.5,式中a?338,b?1.22 b?ij?s274MPa?p?ij??s?ij?338?1.22?230MPa?2E?ij?2?作图时注意为二次曲线50?s 题12-3图

?p100x

12-4图示压杆的横截面为矩形,h?80mm,b?40mm,杆长l?2m,材料为优质碳钢,

E?210GPa。两端约束示意图为:在正视图(a)的平面内相当于铰支;在俯视图(b)

的平面内为弹性固定,并采用??0.6。试求此杆的临界应力Plj。

P80P200040PP

题12-4图

解:在正视平面内,Plj??2EIl2,I?1?80?403mm4 12?2EI?2EI1?,I??40?803mm4 俯视平面内, Plj?222(?l)l?(0.6)12因为80?40?31?40?803,对同一结构,Plj按正视平面内的公式计算(取较小值): 2(0.6)3.142?210193?123??10??80?40?10?614?10N?614kN 2212Plj??2EIl212-5 钢结构压杆由两个56?56?8的等边角钢组成,杆长l?1.5m,两端为球形铰支受轴

向压力P?150kN,角钢为A3钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。 解:查型钢表得:A?8.367?10m,iy?0.0168m,则

2?42???li?1?1.5?89?123

0.0168采用抛物线公式:?lj?235?0.0066??182MPa,P?lj?305kN lj?2A n?PljP?305?2.03 150Palzy

题12-5图 题12-6图

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