课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：
π11?1??π?①(cos x)′＝sin x；②?sin?′＝cos ；③若y＝2，则y′＝－；④?－?′
3?3xx?x??＝ .
2xx其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
1α*
2．已知f(x)＝x(α∈Q)，若f′(1)＝，则α等于( )
41111A. B. C. D. 3284
题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cosx＋sinx B．y′＝cosx－sinx C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 4．函数y＝
2
2
2
2
1
x2
x＋3
的导数为________．
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若
f′(1)＝3，则a的值为________．
6．求下列函数的导数．
e(1)y＝sin x－2x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
sin x2
x
题组3 利用导数研究曲线的切线问题
7．曲线y＝xe＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
π
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实
2
x数a＝________．
9．已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．
[能力提升综合练]
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则
3
3
f2 017(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
1
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
421
A．3 B．2 C．1 D.
2
sin x1?π?3．曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( ) sin x＋cos x2?4?1122
A．－ B. C．－ D.
2222
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax＋3相切，则a的值为( ) A．1 B．±1 C．－1 D．－2
3
x2
?π??π?5．已知函数f(x)＝f′??cos x＋sin x，则f??＝________．
?4??4?
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．
8．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数
3
2
2
a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
2
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
答案
题组1 利用导数公式求函数的导数
π3?3?
1．解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而??′＝0，
32?2?
2
1?0－（x）′－2x－2?－1??所以②错误.?2?′＝＝4＝3，所以③错误.??′＝－
x4xx?x?x??
1
0－（x2）′
x＝
11x－22
x131＝x－＝，所以④正确． 222xxα
2．解析：选D ∵f(x)＝x， ∴f′(x)＝αxα－1
.
1
∴f′(1)＝α＝. 4
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cosx－sinx.
2
2
?x?′＝（x）′（x＋3）－x（x＋3）′ 4．解析：y′＝??2
（x＋3）?x＋3?
222
3