2017-2018学年高中数学 课下能力提升(三)新人教A版选修2-2

课下能力提升(三)

[学业水平达标练]

题组1 利用导数公式求函数的导数 1.给出下列结论:

π11?1??π?①(cos x)′=sin x;②?sin?′=cos ;③若y=2,则y′=-;④?-?′

3?3xx?x??= .

2xx其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

1α*

2.已知f(x)=x(α∈Q),若f′(1)=,则α等于( )

41111A. B. C. D. 3284

题组2 利用导数的运算法则求导数 3.函数y=sin x·cos x的导数是( ) A.y′=cosx+sinx B.y′=cosx-sinx C.y′=2cos x·sin x D.y′=cos x·sin x 4.函数y=

2

2

2

2

1

x2

x+3

的导数为________.

5.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若

f′(1)=3,则a的值为________.

6.求下列函数的导数.

e(1)y=sin x-2x;(2)y=cos x·ln x;(3)y=.

sin x2

x

题组3 利用导数研究曲线的切线问题

7.曲线y=xe+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________.

π

8.若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实

2

x数a=________.

9.已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.

10.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x-10x+13上,且在第一象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,求点P的坐标.

[能力提升综合练]

1.f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则

3

3

f2 017(x)=( )

A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x

1

2.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )

421

A.3 B.2 C.1 D.

2

sin x1?π?3.曲线y=-在点M?,0?处的切线的斜率为( ) sin x+cos x2?4?1122

A.- B. C.- D.

2222

4.已知直线y=3x+1与曲线y=ax+3相切,则a的值为( ) A.1 B.±1 C.-1 D.-2

3

x2

?π??π?5.已知函数f(x)=f′??cos x+sin x,则f??=________.

?4??4?

6.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=________.

7.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a=________.

8.设f(x)=x+ax+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数

3

2

2

a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

2

9.已知两条直线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.

答案

题组1 利用导数公式求函数的导数

π3?3?

1.解析:选B 因为(cos x)′=-sin x,所以①错误.sin =,而??′=0,

32?2?

2

1?0-(x)′-2x-2?-1??所以②错误.?2?′==4=3,所以③错误.??′=-

x4xx?x?x??

1

0-(x2)′

x=

11x-22

x131=x-=,所以④正确. 222xxα

2.解析:选D ∵f(x)=x, ∴f′(x)=αxα-1

.

1

∴f′(1)=α=. 4

题组2 利用导数的运算法则求导数

3.解析:选B y′=(sin x·cos x)′=cos x·cos x+sin x·(-sin x)=cosx-sinx.

2

2

?x?′=(x)′(x+3)-x(x+3)′ 4.解析:y′=??2

(x+3)?x+3?

222

3

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