第一章函数、极限和连续
注：补充例题或习题已在题号前标注*
一、函数
?1,?2例1（1）求函数f?x??ln?x?2??的定义域.（2）求函数f?x???1?x2x?1?3x?2,?1域.
例2设函数g例3已知
x?22?x?3的定义
?x??x?2，f??g?x????ln?x?2?，则f?1??.
f?x??ln?1?x?，f????x????x，求??x?. ?1????x?x?1，则??x??. x例4若??例5已知
f?x?的定义域为全体实数，f?x?1??x?x?1?，则f?x?1??.
f?x??lgx?x2?1的奇偶性.
例6判断函数
??二、极限
例1求下列各题的极限
x2?1?1x3?3x2?2x2??1limlim?（1）lim（.2）（.3）.4）lim??（2x?0x??2x?1x?1x???sin2x2x?1x2?x?6??例2设当x?0，?x2?2x?x2?x.
?1?ax2?1与sin2x是等价无穷小，则a?.
例3当x?0时，下列变量与x为等价无穷小量的是（）. A.sin2xB.1?cosxC.1?x?1?xD.xsinx 例4求下列各题的极限 （1）limtan2xtanx?sinx.（2）lim. 3x?0sin5xx?0sinx1?12x例5求下列各题的极限
?1?（1）lim??x?01?x???x?2?.（2）lim??x???x?x1x3x?2?x?1?.（3）lim??x??x?1??x2x?42?x?a?.（4）lim??（其中a为常数）. x??x?2a??x*例5求下列各题的极限 （1）lim??a?b?c?1?1?tanx?1?sinx?.（2）.（3）. limcoslim???2x??x?0x?0x?3?x1?sinx?x??xx例6求下列各题的极限
x2cosxsinx（1）lim.（2）lim3.
x??x??x?x?1x?111?例7求lim???...??. 222n??n?2n?n??n?1例8在下列函数中，当x?0时，函数
f?x?极限存在的是（）.
?1?2?x,?x?0C.f?x???0,?1x?0?x?,2?x?0x?0D.f?x??ex?01x
?x?1,?A.f?x???0,?x?1,??x?,x?0B.f?x???x?1,x?0?x?02n?a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?1例9（1）lim?2?2?...?2?.（2）lim. mm?1n??nx??nn?b0x?b1x?...?bm?1x?bm?（3）
n???lim2nsinx1?cos2x.（4）. limx?0xsin2x2nx2?kx?3x2?ax?b?4，求常数k的值.（6）已知lim2?2，求常数a,b的值. （5）已知limx?3x?2x?x?2x?3三、函数的连续性
?1?xsinx,?例1设函数f?x???k,?1?xsin?1,x??x?2,?2例2设函数f?x???x?a,?bx,??x2?1,?例3设函数f?x???x,?2?x,?x?0x?0在其定义域内连续，求常数k的值. x?0x?00?x?1在???,???上连续，求常数a,b的值. x?1x?00?x?1，讨论f?x?的间断点及其类型. 1?x?2例4求下列函数的间断点并说明间断点类型
1?x?1?x2x2?1（1）f?x??2.（2）f?x??.
2xx?3x?2例5证明方程4x?2在?0,x??1??内至少有一个实根. 2?0例6设
f?x??ex?2，求证f?x?在?0,2?内至少有一个点x0，使ex?2?x0.
第二章一元函数微分学
一、导数与微分
例1设y?f?x?在x0处可导，则limh?0f?x0?2h??f?x0??;
h?x?0limf?x0??x??f?x0??x??.
?x例2求下列函数的导数 （1）y?（5）y?1?lnx.（2）y?arctane.（3）y?sin2x?sece2f?x????x???，其中f?u?及??x?均可导.
2x32??.（4）y?2x2?1lnxx.
（6）已知
?、f?x?an??和?fx?a?n?.
flnx?f?u?可导，求?????????????????（7）设y?f??x?1?2?，f??x??arctanx，求y?x?0.
?x?1?1?sin2x（8）设f?x?为二阶可导函数，且f?tanx??，求f???x?.
cos2xx?0??x,例3函数f?x???在x?0处是否连续，是否可导，为什么？
ln1?x,x?0??????cosx,x???2例4设函数f?x???
????x?,x???22（1）
f?x?在x?
?2
处是否可导？（2）若可导，求曲线过点????,0?处的切线、法线方程. ?2??x2,x?1例5设函数f?x???在x?1处可导，求常数a,b的值.
?ax?b,x?1例6设曲线y?x?x?2上存在切线与直线y?4x?1平行，求切点. 例7设函数
3y?f?x?由方程sin?x2?y??xy确定，求y?f?x?由方程x3?y3?3xy?1确定，求
x1?x23dy. dxdydx.
x?0例8设函数
例9设函数y?x?2?x?2?x22，求y?.
例10设函数y??sinx?，求y?.