内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形
A组
π
1．(2017·河北三市联考)若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于 ( B )
3A．－3
3
B．
3
2
23C．
3
D．23
[解析] 本题主要考查三角恒等变换．由已知得sinθ＋3cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝3cosθ，所以tanθ＝
3
，故选B． 2
4π2
2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于 ( A )
54222
A．
542C．
5
π2
[解析] sin(α＋)－cosα
42
ππ24222
＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝．
442525(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝4
A． 33C．－ 4
10
，则tan2α＝ ( C ) 2
3B． 44D．－
322B．－ 542D．－ 5
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sinα＋2cosα＝
10
两边平方可得， 2
522
sinα＋4sinαcosα＋4cosα＝，
2
34sinαcosα＋3cosα3
∴4sinαcosα＋3cosα＝，∴＝． 22
2sinα＋cosα2
2
2
1
将左边分子分母同除以cosα得，
3＋4tanα31
＝，解得tanα＝3或tanα＝－， 21＋tanα23∴tan2α＝
2tanα3
＝－． 2
1－tanα4
2
2
3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sinC，则此三角形的形状是 ( B ) A．等腰三角形 C．等边三角形
2
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sinC，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
4．设tanα、tanβ是方程x－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为 ( A ) A．－3 C．1
B．－1 D．3
2
[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，
tanα＋tanβ3
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A．
1－tanα·tanβ1－2
[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．
5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝ ( B ) A．23 C．2
[解析] 由正弦定理得：
＝，
sin Asin BB．2 D．1
ab∵B＝2A，a＝1，b＝3， ∴
13＝． sin A2sin Acos A∵A为三角形的内角， ∴sin A≠0， ∴cos A＝
3． 2
又0 6π ∴B＝2A＝． 3 2 π ∴C＝π－A－B＝， 2∴△ABC为直角三角形． 由勾股定理得c＝1＋6．(2016·四川卷)cos 22 3 2 ＝2． π22π －sin＝____. 8822 [解析] 由二倍角公式，得cos ππ22π －sin＝cos(2×)＝． 8882 7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__153__. [解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4) 2 2 2 ＝a＋(a－4)－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S1 ＝×6×10×sin120°＝153． 2 8．(文)(2016·北京高考)在△ABC中，a＋c＝b＋2ac. (1)求∠B的大小； (2)求2cosA＋cosC的最大值． 2 2 2 a2＋c2－b22ac2 [解析] (1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝． 2ac2ac2 π 又0<∠B<π，所以∠B＝． 43π (2)由(1)知∠A＋∠C＝，则 42cosA＋cosC＝2cosA＋cos? ?3π－A?＝2cosA－2cosA＋2sinA＝2cosA＋2 ?2222?4? ?π?sinA＝cos?A－?． 4?? 3π 因为0<∠A<， 4 π 所以当∠A＝时，2cosA＋cosC取得最大值1． 4 (理)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c， (1)求C； 33 (2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 2 3