第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1
1、实数
q?有理数:任何有理数都可以用分数形式(p,q为整数且q?0)表示，?p? ?也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.?? ?无理数:用无限十进不循环小数表示.R??x|x为实数?--全体实数的集合．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于i?9正有限小数x?a0.aa1an,其中；0?ai?,nan?1a0,为非负整数2,，记,x?a0,.a1an?1(0an?1)9999,对于正整数x?a0,则记x?(a0?1).9999；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将?y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝0.0000 例： 2.001?2.0009999；
3?2.9999；?2.001??2.009999；?3??2.9999
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数x?a0.a1an，y?b0.b1bn. 其中
2
a0,b0为非负整数，ak,bk(k?1,2,)为整数，0?ak?9,0?bk?9．若有
ak?bk,k?0,1,2,，则称x与y相等，记为x?y；若a0?b0或存在非负
整数l，使得ak?bk,k?0,1,2,,l，而al?1?bl?1，则称x大于y或y小于x，分别记为x?y或y?x．对于负实数x、y，若按上述规定分别有?x??y或?x??y，则分别称为x?y与x?y（或y?x）．
规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）
实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
为非负实数，称有
1称为实数x的nn10定义2（不足近似与过剩近似）：x?a0.a1an理数xn?a0.a1an为实数x的n位不足近似；xn?xn?位过剩近似，n?0,1,2,.
对于负实数x??a0.a1an位过剩近似xn??a0.a1an.
，其n位不足近似xn??a0.a1an?1n；10n注：实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0?x1?x2?剩近似xn当n增大时不增，即有x0?x1?x2?命题：记x?a0.a1an，y?b0.b1bn．
； 过
为两个实数，则x?y的等
价条件是：存在非负整数n，使xn?yn（其中xn为x的n位不足近似，． yn为y的n位过剩近似）
命题应用
例1．设x,y为实数，x?y，证明存在有理数r，满足x?r?y． 证明：由x?y，知：存在非负整数n，使得xn?yn．令r?则r为有理数，且
x?xn?r?yn?y．即x?r?y．
3
1xn?yn，2??