第2讲 数列求和问题
「考情研析」 1.从具体内容上，高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想． 2.从高考特点上，难度稍大，一般以解答题为主，分值约为7～8分.
核心知识回顾
常见的求和方法
(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一01公比q是否取1. 定注意□02等差数列(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是□和等比数列．
(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用031的数列的前n项和． 于求通项为□
anan＋1
04适当拆开，(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列□05□重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
06(－1)nan的形式，通常分□07奇、偶，观(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如□察相邻两项是否构成新数列．
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考向1 分组转化法求和
例1 (2019·天津南开区高三下学期一模)已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{(－1)bn(an＋bn)}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差是d.
由a5＝3a2得a1＋4d＝3(a1＋d)，化简得d＝2a1，① 由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1，② 由①②解得a1＝1，d＝2.
所以数列{an }的通项公式为an＝2n－1.
(2)由数列{an＋bn }是首项为1，公比为2的等比数列，得an＋bn＝22
n－1
n－1n，即2n－1＋bn＝
.所以bn＝2
n－1
－2n＋1.
所以(－1)bn(an＋bn)＝(－1)·2(－4)
n－1
nnn－1
·(2
n－1
－2n＋1)＝(－1)4
nn－1
＋(－2)
n－1
(2n－1)＝－
＋(2n－1)·(－2)
0
n－1
.
n－1
∴Pn＝(－4)＋(－4)＋…＋(－4)
1
1－－4＝
1－－4
n1－－4＝
5
n，
Qn＝1·(－2)0＋3·(－2)1＋5·(－2)2＋…＋(2n－3)·(－2)n－2＋(2n－1)·(－2)n－1，③
－2Qn＝1·(－2)＋3·(－2)＋5·(－2)＋…＋(2n－3)·(－2)④
③－④得
3Qn＝1·(－2)＋2·(－2)＋2·(－2)＋…＋2·(－2)－4·[1－－21－－2
n－1
0
1
2
1
2
3
n－1
＋(2n－1)·(－2)，
nn－1
－(2n－1)·(－2)＝1＋
n]16n－1nn－(2n－1)·(－2)＝－－·(－2).
33
16n－1n∴Qn＝－－·(－2).
9914
∴Tn＝－Pn＋Qn＝－＋
45
－45
n6n－1·－2－
9
n.
若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成，或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式，则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合，进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和．解题的关键是观察结构、巧分组．
等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，
a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 2??，n为奇数，
(2)令cn＝?Sn??bn，n为偶数，
解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则由a1＝3，b1＝1及
??b2＋S2＝10，
?
?a5－2b2＝a3，?
设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
??q＋6＋d＝10，
得?
?3＋4d－2q＝3＋2d，???d＝2，解得?
?q＝2，?
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2
n－1
.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2)． 2??，n为奇数，
nn＋2则cn＝???2n－1，n为偶数，11??－，n为奇数，
即cn＝?nn＋2
??2n－1，n为偶数，
T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)