第二讲 几何之圆与扇形
教学目标
组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”，跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。 设计跑道起点 想 大家都看过精彩的田径比赛，200米、400米 挑的比赛每次都那么精彩刺激。你们发现了吗，运 动员们是站在同一条起跑线上了吗？学校马上也要 战 召开运动会了，学生会把400米赛跑起点设置的任 吗务交给了贝贝。如果跑道1圈长400米，跑道宽1.5米，贝贝应该怎样确定起跑点？ （?取3.14） ？ 答案提示： 在短跑中由于会出现弯道，外圈的运动员比跑内圈的运动员在同一起跑线上跑的路程长，所以起跑线设在一起是不公平的，所以要找到每道次之间的长度差，这个差是在弯道中产生的。设弯道最里半圆的半径为r，那么相邻的弯道跑道半径为(r?1.5)米，两条相邻跑到弯道长的差为：，所以相邻跑道的起跑线相差9.42米. 2?(r?1.5)?2??3??3?3.14?9.42（米）
阴影部分求面积
【例1】
（04年我爱数学夏令营）已知小圆的面积均为
?4平方厘米，则图中阴
影部分的面积是多少平方厘米？（?取3.14）
分析：由题意可得小圆的半径为
12（2-，正方形的边长为2，阴影面积为：
2?4?4）?2=0.43
【例2】
如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率?取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? （?取3）
的面积减
分析：如右下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个
去4个的面积，即加上1个半径为1的圆的积．所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×π=19平方厘米．
【例3】 右图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆
的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? （?取3）
分析： 法1：如图所示， 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正
方形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同． 每个正方形的面积为(1×1÷2) ×4=0.5×4=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为2×4=8．
法2：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等的小图形
，原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个
的面积，即8个
形面积减去4个
的面积，而阴影部分面积又是整个图
的面积.那么，原题图
的面积．所以，原题图中阴影部分总面积为：
的面积，即8个
中阴影部分面积为4个圆面积减去16个
4×1×1×3-16×0.25=8(平方厘米)．
【例4】 04年华罗庚金杯数学邀请赛）如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。初始时，A、B两点在矩形屏幕的一条边上。屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（?取3）
分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为0.5平方厘米。
【例5】 （★★★★2005年武汉明心奥数杯竞赛试题）如下图所示，曲
线PRSQ和ROS是两个半圆。RS平行于PQ。如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是_____平方米(?取3．14)。
分析：“剪刀法”与勾股定理
如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积 与三角形ORS的面积之差，为
【例6】
（★★★2006年小学生数学报竞赛）传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影（如右图）。那么，阴影部分的面积是 平方米。