第八章 向量与解析几何
向量代数 定义与运算的几何表达 定义 向量 模 ????有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) ???ax?Prjxa,ay?Prjya,az?Prjza a?ax2?ay2?az2 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? aa?0，则ea? a设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ea?(ax,ay,az)ax?ay?az222 方向余弦 ayaxacos???，cos???，cos???z aaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 a?b?axbx?ayby?azbz ia?b?axbxjaybykaz bzc?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行 a?b?a?b?0 a//b?a?b?0 a?b?axbx?ayby?azbz?0 axayaza//b??? bxbybzcos??axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bzPrjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222交角余弦 a?b两向量夹角余弦cos?? ab向量a在非零向量b上的投影 222222 投影 a?b Prjba?acos(a?b)?b
平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点法式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 x?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1x?x0y?y0z?z0 ??mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?三点式 x2?x1x3?x1参数式 截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1 ??A2B2C2ABC?? mnp两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 x?x0y?y0z?z0 ??x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} 线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin??
第九章 多元函数微分法及其应用
多 元 函 数 的 概 念 定义域 极限 多元函数求定义域方法同一元函数求定义域，注意定义域要写成集合形式 P(x,y)?P0(x0,y0)（P?P0 表要说明二元函数极限不存在，只需找两条不同路径逼近P0，得到f(x,y)逼近不同数值即可，例如 示点P以任何方式趋于点P0），z?f(x,y)?xyf(x,y)?A 22,x?y?0,?2 在(0,0)点 f(x,y)??x?y222?0,x?y?0,? 定义 极限存在的前提下，要求limf(x,y)?f(x0,y0) x?x0y?y0连续 函数在某点连续极限一定存在，极限存在不一定连续 =fx(x0,y0) 偏导数 f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?zlim??x?0?x?xx?x0y?y0计算 高阶偏导 全微分 多 元 复 合 函 数 求 导 z?f(x,y) z?f(u,v)u??(t) v??(t) z?f(u,v) u??(x,y) v??(x,y) z?f(u,v,w) u??(x,y) v??(x,y) 相当于一元函数求导数，对某一自变量求偏导，把其余变量均视为常数即可 同一元函数求高阶导数 多元函数 dz?fxdx?fydy 可微一定可导（偏导存在） 可导不一定可微 全导数dz?zdu?zdv＝＋ ?udtdt?vdt?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v=+ =+． ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z?z?u?z?v?z?w?z?z?u?z?v?z?w=+＋ =+＋ ?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y 隐 函 数 求 导 w??(x,y) 由F(x,y)?0确定隐函数y?f(x) 由F(x,y,z)?0确定隐函数Fdy??x dxFyFyFx?z?z=? =? ?x?yFzFzz?f(x,y) 方程组?F(x,y,u,v)?0, ??G(x,y,u,z)?0.确定隐函数?F(x,y,u,v)?0,方程组?两端同时对x求导得 ?G(x,y,u,z)?0.?u?v?F?F?F?0,uv?x?u?v?u?v?x?x 可解出, ，同理可解出, ??u?v?x?x?y?y?Gx?Gu?Gv?0.?x?x? u?u(x,y) v?v(x,y)