函数的性质——灵活运用，绕开陷阱 样题 闯关题 误点1、考虑不周导致错误 1题、2题 2题,4题,6题,7题,10题 误点2、性质应用错误 3题、4题、5题 1题、3题、5题 8题 ?????名师纠错本?????
?误点1、考虑不周导致错误
样题1：函数y?log1(x2?5x?6)的单调增区间为（ ）
2??? A．?，?5?2??
B．(3，??)
C．???，?
??5?2?D．(??，2)
???，故选A. 【错因分析】错解1：因为y?x?5x?6的单调递增区间为?，该解法没有掌握复合函数的单调性，直接把内函数的单调区间看作复合函数的单调区间.
错解2：因为y?log1u为减函数，故只需找u?x?5x?6的单减区间，所以选C.
222?5?2??该解法没有考虑到函数的定义域，从而导致函数的单调区间范围扩大.
【正确答案】由定义域为(??，2)∪(3，??)，排除A、C，因为y?log1u为减函数，故只
2需找u?x?5x?6的单减区间，故y?log1(x2?5x?6)的单调增区间为(??，2)，选D
22【纠错反思】求函数的单调性，首先要求出函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子区间.对于复合函数f?g?x??的单调性，要先找出内函数u?g?x?的单调性，若u?g?x?与
y?f?u?的单调性相同（同增同减），则复合函数f?g?x??单调递增，若u?g?x?与y?f?u?的单调性相反（一增一减），则f?g?x??单调递减.
样题2：已知f(x)??( ) （A）(0,1)
（B）(0,) （C）[,)
?(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是
logx,x?1a?131173
（D）[,1)
17【错因分析】若logax为减函数，则0?a?1；若?3a?1?x?4a为减函数，则3a?1?0解得 a?11，结合0?a?1，所以a的取值范围是(0,). 331
只让分段函数的每一段满足单调递减，没有考虑到函数在整个定义域(??,??)上单调递减.
1，31
又在(??,??)上为减函数，故当x?1时，函数值?3a?1??1?4a?loga1，解得a?
7
11所以a?[,)
73【正确答案】若logax为减，则0?a?1；若?3a?1?x?4a为减，则3a?1?0解得 a?【温馨提示】分段函数是一个函数，而不是多个函数，因此对于分段函数的单调性，必须要在整个函数的定义域内考虑，特别是在函数的分界点处，要满足函数的单调性.分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复习时认真对待．
?误点2、性质应用错误
样题3： 在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )
A.在[?2,?1]上是增函数，在[3,4]上是增函数B.在[?2,?1]上是增函数，在[3,4]上是减函数 C.在[?2,?1]上是减函数，在[3,4]上是增函数D.在[?2,?1]上是减函数，在[3,4]上是减函数 【错因分析】根据f?x??f?2?x?，可知函数f(x)的周期为2，根据f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以在区间[3,4]上也是减函数,又因为f(x)是偶函数，所以根据偶函数在对称区间上的单调性相反，所以在区间[?2,?1]上是增函数，故答案选B.
该做法也找到了正确答案，却是歪打正着. 由f?x??f?2?x?得到的是函数f(x)关于x?1对称，而不是周期为2.
【正确答案】由f(x)?f(2?x)可知f(x)图象关于x?1对称，又因为f(x)为偶函数图象关于x?0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B.
【思维提升】对于函数的奇偶性、单调性、周期性综合应用的题，有必要记住以下常见的结论：⑴若f?x??f?2a?x?，或f?a?x??f?a?x?，则f(x)关于x?a对称；⑵若
f?x??f?2a?x?，或f?x?a??f?x?a?或f?x?a??11或f?x?a???则f?x?f?x?f(x)的周期为T?2a；⑶若函数f(x)为偶函数，且关于x?a对称，则函数f(x)的周期
为T?2a；若函数f(x)为奇函数，且关于x?a对称，则函数f(x)的周期为T?4a.掌握这些常见的结论，对我们解决与函数性质相关的题时，很有帮助.
2
样题4：若f?x?是定义在??1,1?上的偶函数，且在?0,1?上单调递增，若
f?a?2??f4?a2?0，求实数a的取值范围.
【错因分析】因为f?x?是偶函数，且在?0,1?上单增，所以f?x?在??1,0?上单减.又
????f?a?2??f4?a2?0可化为：f?a?2??f4?a2，下边分三种情况讨论：⑴当
??a?2和4?a2同在?0,1?内时；⑵当a?2和4?a2同在??1,0?内时，⑶当a?2和4?a2一
个在区间?0,1?内，另一个在区间??1,0?内时------
上面这种解题方法不算错误，但是计算量大，步骤繁琐，非常容易出错.属于“小题大做”. 【正确答案】：因为f?x?是定义在??1,1?上的偶函数，且在?0,1?上单调递增，所以f?x?在
??1,0?上单调递减，所以函数图象开口向上.又f?a?2??f?4?a2??0可化为：
f?a?2??f4?a2，故根据f?x??f??x??f?x?
????1?a?2?1?1?a?3??22可得??1?4?a?1?3?a?5??2a?2?4?a?a?2?a?2a?2??所以a的取值范围是a?3?a?5且a?2
?3,2?2,5
???【温馨提示】若函数f?x?是偶函数，则有：f?x??f??x??fx，反之亦然.这是偶函数性质中一个重要的公式.特别是在解决函数的奇偶性与单调性相结合的题时，思路简洁，计
算简单，能够很好的避免利用分区间讨论法带来的繁琐计算，降低了出错率.
样题5：定义域为R的函数f?x?在(8,??)上为单减，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ ） A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
【错因分析】y?f?x?8?为偶函数，所以f?x?8??f??x?8?，所以------
【正确答案】：y?f?x?8?为偶函数?f(x?8)?f(?x?8).即y?f(x)关于直线x?8对称。又f?x?在(8,??)上为减函数，故在(??,8)上为增函数， 检验知选D.
【温馨提示】若f?g?x??为偶函数，则有f?g??x???f?g?x??，而不是f??g?x???f?g?x??.该题还可通过平移y?f?x?8?得到y?f(x)的对称轴为x?8，从而得到f?x?的单调性.
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