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第1课时 根式
学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
. (2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 na R n为偶数 ±na [0，＋∞) (3)根式 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*
) (1)n为奇数时，nan＝a. (2)n为偶数时，nan＝|a|＝???
a，a≥0，
??－a，a<0.
(3)n0＝0.
(4)负数没有偶次方根． 思考：(1)(na)n的含义是什么？
[提示] (na)n是实数a的n次方根的n次幂． (2)(na)n中实数a的取值范围是任意实数吗？ [提示] 不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)实数a的奇次方根只有一个．( ) (2)当n∈N*
时，(n－2)n＝－2.( ) (3)π－
2
＝π－4.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
- 1 -
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4
2.16的运算结果是( ) A．2 C．±2
444
A [16＝2＝2.]
3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
【导学号：37102202】
42
A.m 6
C.m
5B.m 5
D.－m B．－2 D．±2
6
C [当m<0时，m没有意义，其余各式均有意义．] 4．若x＝－5，则x＝________.
3333
－5 [若x＝－5，则x＝－5＝－5.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
3
n次方根的概念问题
(1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)已知x＝2 016，则x＝________.
4
(3)若x＋3有意义，求实数x的取值范围为________.
【导学号：37102203】
6
(1)3；±2 (2)±2 016 (3)[－3，＋∞] [(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. 66
(2)因为x＝2 016，所以x＝±2 016. 4
(3)要使x＋3有意义， 则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
[规律方法] n次方根的个数及符号的确定 6
n的奇偶性决定了n次方根的个数； n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. [跟踪训练]
1．已知a∈R，n∈N，给出下列4个式子： ①
*
6
－
2n526；②a；③
－
2n＋1
92
；④－a，其中无意义的有( )
- 2 -
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A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 A [①中(－3)>0，所以2n6
－
2n有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)
2n＋1
<0，因此无意义，④中根
指数为9，有意义．选A.]
利用根式的性质化简求值
化简下列各式： (1)5－5＋(
5
－)5
；
(2)6－
6
＋(62)6
；
(3)
4
x＋4
；
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝???
x＋2，x≥－2.
?－x－2，x<
?
－2.
[规律方法] 正确区分nan与
nannan已暗含了n
a有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性
[跟踪训练]
2．若9a2
－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围． [解] ∵9a2－6a＋1＝
a－
2
＝|3a－1|，
由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥1
3.
有限制条件的根式的运算 [探究问题] 1．当a>b时，a－b2
等于多少？
提示：当a>b时，
a－b2＝a－b.
2．等式a2
＝a及(a)2
＝a恒成立吗？
37102204】
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【导学号：