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2018高三数学（理）一模考试题(潍坊市含答案)
2018高三数学（理）一模考试题(潍坊市含答案) 山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数 的图象可以是（ ） A． B． C． D． 4.已知 满足约束条件 ，则函数 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 5. 的内角 的对边分?e为 ，已知 ，则 的面积是（ ） A． B． C．1 D． 6.对于实数 ，定义一种新运算“ ”： ，其运算原理如程序框图所示，则 （ ） A．26 B．32 C．40 D．46 7.若函数 为奇函数，则 （ ） A． B． C． D．0 8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 9.已知函数 的最小正周期为 ，其图象关于直线 对称.给出下面四个结论： ①函数 在区间 上先增后减；②将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称；③点 是函数 图象的一个对称中心；④函数 在 上的最大值为1.其中正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11.双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线交曲线左支于 两点, 是以 为直角顶点的直角三角形，且 .若该双曲线的离心率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 12.函数 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递减.若 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 实数 满足 ，则 的最大值为 ． 14. 展开式中 的系数为 ． (用数字填写答案） 15．已知抛物线 的准线为 ，若 与圆 相交所得弦长为 ，则 ． 16．正四棱柱 中，底面边长为2，侧棱 ， 为上底面 上的动点，给出下列四个结论： ①若 ，
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则满足条件的 点有且只有一个； ②若 ，则点 的轨迹是一段圆弧； ③若 平面 ，则 与平面 所成角的正切的最大值为 ； ④若 平面 ，则平面 截正四棱柱 的外接球所得图形面积最大值为 . 其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18.如图，直三棱柱 中， ，点 是棱 上不同于 的动点. （1）证明: ； （2）若平面 把此棱拄分成体积相等的两部分，求此时二面角 的余弦值. 19.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 ，标准差 ，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值. （1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为 ，依据以下不等式评判（ 表示对应事件的概率）： ① ② ③ 评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修； （2）将数据不在 内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为 ，求 的分布列与数学期望 . 20.如图，椭圆 的左右焦点分别为 ，左右顶点分别为 为椭圆 上任一点（不与 重合）.已知 的内切圆半径的最大值为 ，椭圆 的离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）直线 过点 且垂直于 轴，延长 交 于点 ，以 为直径的圆交 于点 ，求证: 三点共线. 21.函数 . （1）求 的单调区间； （2）对 ，使 成立，求实数 的取值范围； （3）设 在 上有唯一零点，求正实数 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ）（ 为参数， ），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设点 的坐标为 ，直线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）已知 ，求 的取值范围.
试卷答案 一、选择题 1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12：DB 二、填空
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题 13. 14. 120 15. 16.①②③ 三、解答题 17. （1）设 的公差为 ，由题设可得， ， ∴ ， 解得 . ∴ . （2）令 ， 则 ，① ，② ①－②得： ， ∴ . 18.（1）解:在 中，由余弦定理得， ， ∴ ， 则有 ， ∴ ，∴ ， 又∵ ， ∴ 平面 ， 又 平面 ， ∴ . （2）解：由题设知，平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥 和四棱锥 . 由（1）知四棱 的高为 ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ，∴ . 此时 为 中点， 以点 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . ∴ . ∴ ， 设 是平面 的一个法向量， ∴ ，即 ，令 ，可得 ， 设 是平面 的一个法向量， ∴ ，即 ，令 ，可得 ， ∴ 。 所以二面角 的余弦值等于 . 19.解：（1）由题意知， ，由频率分布直方图得 ， ， ， ∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修. （2）由（1）知 ， 所以任取―件是次品的概率为 ， 所以任取两件产品得到的次品数 可能值为0，1,2， 则 ； ； ； ∴ 的分布列为 ∴ . 20.解：（1）由题意知: ，∴ ，又 ，∴ ， 设 的内切圆半径为 ， 则 ， ， 故当 面积最大时， 最大， 即 点位于椭圆短轴顶点时， ， ∴ ， 把 代入，解得 ， ∴椭圆方程为 . （2）由题意知，直线 的斜率存在，设为 ， 则所在直线方程为 ， 联立 ，消去 ，得 ， 则有 ， ∴ ， ， 得 ， 又 ， ∴ ， 则 ， ∴ 而 在以 为直径的圆上， ∴ ， ∴ 三点共线. 21.解：（1） ， 当 ，即 时， 单调递增； 当 ，即 时， 单调递减； 综上， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 . （2） ，即 ， 设 ， 则原问题等价于 ， 一方面由（1）可知，当 时， ， 故 在 单调递增， ∴ 另―方面： ， ， 由于 ， ∴ ， 又 ， 当 ， ， 在 为增函数， ， 所以 ， . （3） ， . ①若 ，则 单调递增， 无零点， ②若 时，设 ， 则 ， 故 单调递增，∵ ， 所以存在 ，使 ， 因此当 时， ，即 单调递减； 当 时， 即 单调递增. 故当 时， 无零点， 当 时， ，存在唯一零点， 综上， 时，有唯一零点. 22.解:（I )曲线 ，即 ， ∵ ， ∴曲线 的直角坐标方程为 即 . （2）将 代入 并整理得 ， ∴ . 23.解:（1）当 时，不等式 即 ， 当 时， ，∴ 或 ， ∴此时， ， 当 时， ，∴ 或 ， ∴此时， ， 当 时， ，∴ 或 此时， ， ∴不等式的解集为 或 . （2） 若 则 ，∴ ， 解得: 或 ，∴ ， 若 则 ，∴ ，