2016年山东省淄博市中考数学试题及答案(Word解析版)

(1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式.

【分析】(1)利用△=b﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点得到4a﹣4a=0,然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线解析式;

(2)利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数,则可以利用抛物线解析式确定B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式.

【解答】解:(1)∵抛物线y=ax+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,

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∴△=4a﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,

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∴抛物线解析式为y=x+2x+1;

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(2)∵y=(x+1),

∴顶点A的坐标为(﹣1,0), ∵点C是线段AB的中点, 即点A与点B关于C点对称, ∴B点的横坐标为1,

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当x=1时,y=x+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4), 设直线AB的解析式为y=kx+b,

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把A(﹣1,0),B(1,4)代入得∴直线AB的解析式为y=2x+2.

,解得,

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【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b

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﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b﹣4ac=0时,

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抛物线与x轴有1个交点;△=b﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.也考查了利用待定系数法求函数解析式. 22.(8分)(2016?淄博)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F. (1)求证:AE=AF;

(2)求证:BE=(AB+AC).

【分析】(1)欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可.

(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题. 【解答】证明:(1)∵DA平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE, ∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.

(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G. ∵EF∥CG,

∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE, ∵∠AEF=∠AFE, ∴∠G=∠ACG, ∴AG=AC,

∵BM=CM.EM∥CG, ∴BE=EG,

∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).

【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型.

23.(9分)(2016?淄博)已知,点M是二次函数y=ax(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为. (1)求a的值;

(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;

(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.

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),

【分析】(1)设Q(m,),F(0,

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),根据QO=QF列出方程即可解决问题.

(2)设M(t,t),Q(m,),根据KOM=KOQ,求出t、m的关系,根据QO=QM列出方程即可解决

问题.

(3)设M(n,n)(n>0),则N(n,0),F(0,),利用勾股定理求出MF即可解决问题. 【解答】解:(1)∵圆心O的纵坐标为,∴设Q(m,),F(0,∵QO=QF,∴m+()=m+(﹣

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),

),∴a=1,∴抛物线为y=x.

(2)∵M在抛物线上,设M(t,t),Q(m,), ∵O、Q、M在同一直线上,

∴KOM=KOQ,∴∵QO=QM,

=,∴m=,

∴m+()=(m﹣t)=(﹣t), 整理得到:﹣ t+t+t﹣2mt=0, ∴4t+3t﹣1=0,

∴(t+1)(4t﹣1)=0,∴t1=,t2=﹣, 当t1=时,m1=, 当t2=﹣时,m2=﹣.

∴M1(,),Q1(,),M2(﹣,),Q2(﹣,).

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(3)设M(n,n)(n>0), ∴N(n,0),F(0,),

∴MF===n+,MN+OF=n+, ∴MF=MN+OF.

【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识,解题的关键是设参数解决问题,把问题转化为方程解决,属于中考常考题型. 24.(9分)(2016?淄博)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变. (1)求证: =; (2)求证:AF⊥FM;

(3)请探索:在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?写出你的探索结论,并加以证明.

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【分析】(1)先证明A、B、M、F四点共圆,根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°,根据等腰直角三角形性质即可解决问题. (2)由(1)的结论即可证明.

(3)由:A、B、M、F四点共圆,推出∠BAM=∠EFM,因为∠BAM=∠FMN,所以∠EFM=∠FMN,推出MN∥BD,得到=,推出BM=DN,再证明△ABM≌△ADN即可解决问题. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=∠CBD=45°,∠ABC=90°, ∵∠MAN=45°, ∴∠MAF=∠MBE,

∴A、B、M、F四点共圆, ∴∠ABM+∠AFM=180°, ∴∠AFM=90°,

∴∠FAM=∠FMA=45°, ∴AM=

AF,

∴=.

(2)由(1)可知∠AFM=90°, ∴AF⊥FM.

(3)结论:∠BAM=22.5时,∠FMN=∠BAM 理由:∵A、B、M、F四点共圆, ∴∠BAM=∠EFM, ∵∠BAM=∠FMN, ∴∠EFM=∠FMN, ∴MN∥BD,

∴=,∵CB=DC, ∴CM=CN, ∴MB=DN,

在△ABM和△ADN中,

∴△ABM≌△ADN, ∴∠BAM=∠DAN, ∵∠MAN=45°,

∴∠BAM+∠DAN=45°, ∴∠BAM=22.5°.

【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题,题目有点难,用到四点共圆.

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