《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若
{zn}收敛，则
{Re zn}与
{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且
f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若
zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C
?Cf(z)dz?0. ( )
10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（
二.填空题（20分）
dz1、 ?|z?z0|?1(z?zn?__________.（n为自然数） 0)2.
sin2z?cos2z? _________. 3.函数sinz的周期为___________.
f(z)?14.设
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
?5.幂级数
?nzn的收敛半径为__________.
n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
limz7.若lim1?z2?...?zn?n??zn??，则n??n______________.
s(ezRe8.zn,0)?________，其中n为自然数.
） sinz9. 的孤立奇点为________ .
zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.
三.计算题（40分）：
1. 设
1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.
1dz.?|z|?1cosz2.
3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).
w?4. 求复数
z?1z?1的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内
z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
《复变函数》考试试题（二）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( )
2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )
z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.
C( )
8. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )
11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....
n?12n2n( )
二. 填空题. (20分)
1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__
z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?________.
3.
dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）
?n?04. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .
5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.
z?110. Res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)
3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.
3. 计算积分：I??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）
?ii的右半圆.