第十章重积分 95
y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故
/, = Jj( x + y) d(j = 2jj( x + y) dcr.
3
1
3
212
fh 23
i)i 2又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r)关于y是偶函数，故 jj( x
+ j ) dcr = 2j( x + y ) da = 2/2. Dy 1)： 从而得
/, = 4/2.
2
3
2
23(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, -y) =
-f(x,y) ,PJ
jf/(x,y)da = 0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即 /( ~x,y) = -/(太，y)，则
= 0.
D ?3.利用二重积分定义证明：
(1 ) jj da =
IJ (其中(7为的面积)；
(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y’( A:，y) do■(其中 A：为常数)；
o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr I) b\\ lh 尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得
n \
,其中 /) = /)! U /)2，
，
A 为两个 96
一、《高等数学》(第七版)下册习题全解
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A =lim cr = a. A—0 n (2) Ji/( x,j) (Ic7 = lim ^ 1 i) n =A lim y/(^( ,i7, )A(7-, =k \\\\f{x,y)Aa. A -° 台 ?{! (3) 因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把￡?怎样分割，积分和的极限总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y) 在A UD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为 ^/(^, ,17,) ACT, = ^/( ^, , 17,) ACT, + ^/(^, ,17,) ACT,. /)(U0, \l)： 令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得 J f(x,y)i\\a p,un} = jjf(x,y)da V, + JJ/(xfy) da. n； Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1 -2x2 - y2)d?ly达到最大值. I) 解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v - V大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y小于零的点，即当￡?是椭圆2/ + y = l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大. & 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) Ju+y)山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A +.、= D I) 22 2 22 1所围成； (2) J(x +7)如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2) +(.v-l) = t) n 222 2所围成； ( 3 ) I'M A； + y) (lor与!\[ In( X + y) ] 2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三 顶点分别为 l) \ (1，0)，(1，1)，(2,0); (4) Jpn(:r + y) dcr 与In(:t + y) ] fW，其中 /) = | (.r ,.v) | 3 i) i) 2 1 . ，0彡、彡 解(1)在积分K域0上，故 3 有 2 (x + j) ^ (x + y) . 根据二重积分的性质4，可得 0 J(.r + y) \\lrx ^ J (.\\ + v) D (2) 由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V + ?、彡1 1内，故在/)|:& (.f + y) 彡(A + y) ?从『(\J( v + ＞ )drr ^ jj ( x + y) \\lfr. 2 3 ： 第十章重积分 97 (3) 由于积分区域D位于条形区域1 U，y) | 1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的 点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]彡lnU+.y).因此 2 jj[ ln( A: + y) ] 2(Jo- ^ + y)d (4) 由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡 1，从而：In (-v + )') ] 彡 In (:c + )').因此 Jj^ 1 n(.r + y) ] dcr ^ Jln( x + y) da. 2 2 i) a 3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \\ (x ,y) 1,0 1|； n ( 2 ) / = j^sin^sin^do■，其中 /) = j ( A: ,y) | 0 ^ ^ ^ TT ,0 ^ y ^ TT 1 ; i) (3) / = J*(A：+y + l)d(7,其中 />= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[； it (4) / = J(x + 4y +9)do?，其中 D = \\{x,y) \\ x + y ^ 4 |. 2 222I) 解 (1)在积分区域D上，0矣;<:矣1 ,0英y矣1 ,从而0矣巧?(*+y)矣2?又￡?的面 积等于1,因此 ( 2 )在积分区域/)上，0矣sin J:矣1 ,0 ^ sin 1，从而0彡sinA：siny彡1，又0的 22 面积等于TT,W此 (3) 在积分K域\上有\\^x+y + \\ ?4,/)的而积等于2,因此 2 (4) W为在积分K域/>?上有0矣;t +y苳4,所以有 9 ^ 34 I)的酣枳等于4TT，W此 36 TT ^ [[(x +4/ + 9) (Ur ^ lOO-ir. 222 + 4r +9 ^ 4( x + y) + 9矣25. 2 22二重积分的计算法 .^1.计算下列二甩积分: