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概率、统计
【知识精要】
1． 排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解决此类问题常见要点：（1）不重复，不遗漏；（2）正面考虑比较麻烦时，考虑间接法；（2）特殊位置、元素优先考虑；（3）转化思想，对于陌生问题，尽量转化为熟悉模型。
2．隔板法模型：将m个名额分给k个人(m?k)，每人至少一个的方法
是Ck?1?m?1；引申1：方程x1?x2?????xk?m(xi?1,xi?Z,m?Z)的解有Ck?1?m?1组；引申2：方程x1?x2?????xk?m(xi?0,xi?Z,m?Z)的解有Ck?1m?k?1组。
【例题精讲】+【习题精练】
例1：3个人传球，由甲发球，5次传球之后，仍回到甲手中，有多少种传球方法？ 解：将问题转化为右图填图问题。中间可能
有甲或无甲，则有C112A22C2A2?2?10种不同
甲甲的传球方法。 练习1：（2000全国高中数学联赛）如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.
例2：使直线ax?by?1和圆x2?y2?50只有整数公共点的有序实数对(a,b)的个数为：
（ ） A、72 B、74 C、78 D、82 解：第一象限圆上有(7,1),(5,5),(1,7)三个整点，故平面上有12个整点，
分割线或切线，共C212?12?78条，但该直线不过原点，减去6条，共有
72条，选A。
练习2：（05年江苏高中数学竞赛）由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的5位数共有 .
例3：（2005全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，任选两条为异面直线的概率是： 。
解：全部情况有C215?105种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为
事件A，而要使两直线异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3
组异面直线，则事件A的可能情况有3(C46?3)?36种，故
P(A)?36105?1235。即任选两条为异面直线的概率为1235。 练习3：（02年全国联赛题改编）已知点P1,P2,?,P10分别是四面体的顶
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点或棱的中点，那么四点组(P1,Pi,Pj,Pk)（1?i?j?k?10）在同一平
面上的概率为 ．
练习4：（09安徽高考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的
两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ） （A） 175 （B）275 （C） 375 （D）475
例4：（2005全国高中数学联赛）如果自然数a的各位数字之和为7，那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,a4,???,若
an?2005，则a5n? 。
解：设x1x2???xk为k为吉祥数，x1?1,xi?0(i?2,3,???,k)，则
x1?x2?????xk?7（1）令y1?x1，yi?xi?1(i?2,3,???,k)，则（1）
为y1?y2?y3?????yk?k?6（2）方程（2）正整数解个数即k为吉祥
数的个数，记为P(k)。利用隔板法有P(k)?Ck?16k?5?Ck?5个。而2005是
形如2x2x3x4数中最小吉祥数，且P(1)?1,P(2)?7,P(3)?28.对于四位
吉祥数1x2x3x4，其个数为满足x2?x3?x4?6的非负整数解的个数，即
C68?28个，故2005是第1?7?28?28?1?65个吉祥数，即n?65，
5n?325，又P(4)?C6?C69?84,P(5)10?210，故 ?5
P(k)?1?7?28?84?210?330。而5位吉祥数中最后的5个倒过k?1来依次为70000，61000，60100，60010，52000，则第325个吉祥数为52000，即a5n?52000。
练习5：从数1,2,3,???,14中，按从小到大的排序取出a1,a2,a3三个数，且a2?a1?3,a3?a2?3，则符合条件的不同取法有多少种？
练习6：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，求不同的染色方法的总数。
练习7： 从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染不同的颜色，则不同的染色方法有多少种？
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