第十届华杯赛决赛试题
一、填空（每题10分，共80分）
1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：
2005 1985 1910 公元历
5746 希伯莱历
1332 伊斯兰历
1927 印度历
2．计算：
① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。
3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（ ）分钟。（精确到分钟）
4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。
5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（ ）。
6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（ ）平方米，体积是（ ）立方米。
7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表：
0 3 8 15 … 1 2 7 14 … 4 5 6 13 … 9 10 11 12 … … … … … …
规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（ ）行和第（ ）列。
8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（ ）平方厘米。
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第十届华杯赛决赛试题
图2
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？
10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，
①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质； ②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。
11．一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。
12．A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟40米。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。 三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．已知等式其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值。
14．两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图4）。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
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第十届华杯赛决赛试题
第十届华杯赛决赛试题答案 一、填空（每题10分，共80分） 第1小题：
2005 1985 公元历
5766 5746 希伯莱历
1427 1407 伊斯兰历
1927 1907 印度历
第2-8小题：
1 2 3 4 5 6 题号
答案
见上表
10.695;1
17 102
1910
5671 1332 1832 7
8 60
【评分参考】第1小题，错1空，扣1.5分；第2-8小题中若有两空，每空5分。 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分） 9．解：
13；3 20；45
如图案所示，
，5个风筝形拼成一个正10边形，所以，
=360（度），
=72（度）。
=（10-2）×180÷10=8×18=144度， 5
风筝形是个四边形，内角和是360度，并且（证明省略），所以，=（360-144-72）÷2=72
（度）。
答：在风筝形中，有一个是钝角，是144度，其它三个角都是72度。 【说明】在正式出版试题解答时将给出本题
，5个风筝形拼成的图形是一个正10边形
的严格的证明。
【评分参考】角度正确，6分；理由正确，4分。 10．解答：①这7个数是2，3，4，6，8，9，10；
②将这10个自然数分为三组：偶数2，4，6，8，10为第一组；3，9为第二组；5，7，11为第三组。显然，第一和第二组每组至多只能选出1个数，第三组的3个自然数两两互质，最多能选3个。例如：2、3、5、7、11就两两互质。所以从2、3、4、5、6、7、8、9、10和11最多可以选出5个数，这5个自然数两两互质。
【评分参考】①正确，给4分；②答案5正确，给4分，理由陈述正确，给2分。
11．解：①以长为3的直角边分为轴旋转得到的是一个圆锥，体积；
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