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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真 题 感 悟
x2y2
1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
abA.y＝±2x C.y＝±2
x 2
B.y＝±3x D.y＝±
3x 2
22解析 法一 由题意知，e＝＝3，所以c＝3a，所以b＝c－a＝2a，即＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x.
cababac法二 由e＝＝
ax.
答案 A
bb?b?1＋??＝3，得＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2aa?a?
2
22
2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C3→→
交于M，N两点，则FM·FN＝( ) A.5
B.6
C.7
D.8
2??y＝（x＋2），222
解析 过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由?3得x－5x33
??y2＝4x，＋4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2→→→→
＝4.易知F(1，0)，所以FM＝(x1－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，所以FM·FN＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D
x2y2
3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，
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3
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为6
点P在过A且斜率为( ) 2A. 3
1B. 21C. 31D. 4
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°， ∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，
PE＝3c，即点P(2c，3c).∵点P在过点A，且斜率为c11＝，∴e＝. a44
答案 D
33c3
的直线上，∴＝，解得62c＋a6
4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，
2点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. (1)解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
2??2??2
把x＝1代入椭圆方程＋y＝1，可得点A的坐标为?1，?或?1，－?.
22??2??又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－22
x＋2或y＝x－2. 22
x2
2
x2
(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1<2，x2<2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得
＋.
x1－2x2－2
y1y2
kMA＋kMB＝
2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k. （x1－2）（x2－2）
将y＝k(x－1)代入＋y＝1得
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x2
2
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(2k＋1)x－4kx＋2k－2＝0. 4k2k－2
所以，x1＋x2＝2，x1x2＝2.
2k＋12k＋1
4k－4k－12k＋8k＋4k则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0. 2
2k＋1从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程
3
3
3
2
2
2
2
2
2
x2y2y2x2
(1)椭圆：2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
ababx2y2y2x2
(2)双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
abab(3)抛物线：y＝2px，y＝－2px，x＝2py，x＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
2
2
2
2
c①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝＝a2
2
2b21－2. ab21＋2.
ac②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝＝a2
2
2
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
x2y2b①双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
abay2x2a②双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
abb(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
??2
①抛物线y＝2px(p>0)的焦点F?，0?，准线方程x＝－.
2?2?
②抛物线x＝2py(p>0)的焦点F?0，?，准线方程y＝－. 2?2?4.弦长问题
2
ppp?
p?
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