空间图形的基本关系与公理
一. 教学内容：
空间图形的基本关系与公理
二. 学习目标：
1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；
2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点
（一）空间位置关系： I、空间点与线的关系
空间点与直线的位置关系有两种：?点P在直线上：
II、空间点与平面的关系
空间点与平面的位置关系有两种：?点P在平面
III、空间直线与直线的位置关系：
上：
?点P在平面
外：
；
；?点P在直线外：
；
IV、空间直线与平面的位置关系：
V、空间平面与平面的位置关系：?平行；?相交
说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定
1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；
2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
（三）平面的基本性质公理 1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。
2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。
3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。
4、平面的基本性质公理的三个推论
?经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； ?经过两条相交直线，有且只有一个平面； ?经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考：
?公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ ?平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？
（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。
（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。
【典型例题】
考点一 空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。 例1. 下列命题：
?空间不同的三点可以确定一个平面； ?有三个公共点的两个平面必定重合；
?空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。 其中正确的命题是 。 解：⑥。
例2. 空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。
解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）：
考点二 异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。
例3. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考点三 “有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。 例4. 求证：过两条平行直线有且只有一个平面。 已知：直线a∥b。
求证：过a，b有且只有一个平面。
证明：?存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。 ?唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面1可知：
。在直线上任取两点A、B，在直线b
都过直线a，b，因此由公理
上任取一点C，则A、B、C三点不共线。由于这两个平面
都过点A、B、C。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，
因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。 综上所述：过a，b有且只有一个平面。
考点四 共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。
例5. 三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。
已知：平面
，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。