309教育网 www.309edu.com
第2讲 综合大题部分
1. (2018·高考天津卷)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°. (1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.
(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND. 又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝AD＋AM＝13. 因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC. 在Rt△DAN中，AN＝1， 故DN＝AD＋AN＝13. 在等腰三角形DMN中，MN＝1， 1MN213
可得cos∠DMN＝＝.
DM26
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为
13
. 26
2
2
2
2
(3)如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝3. 又因为平面ABC⊥平面ABD， 平面ABC∩平面ABD＝AB，
而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD， 所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD＝AC＋AD＝4. 在Rt△CMD中，sin∠CDM＝
2
2
CM3＝. CD4
309教育资源库 www.309edu.com
309教育网 www.309edu.com
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
3. 4
2．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD， 所以PD⊥平面PAB. 所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点， 1所以FG∥BC，FG＝BC.
2
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
309教育资源库 www.309edu.com
309教育网 www.309edu.com
1
所以DE∥BC，DE＝BC.
2所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG.
又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
8
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面
3积．
解析：(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD， 又AP∩PD＝P，从而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD. 设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝2x. 2
113
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x.
33138
由题设得x＝，故x＝2.
33
309教育资源库 www.309edu.com