难点突破4 天体表面的重力加速度
重力加速度“g”在有关天体运动的习题中经常会露出“倩影”，它往往是求解万有引力与运动学综合问题的“媒介”，它能将天体运动与自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动进行综合．求解地球(或星球)表面及其附近重力加速度的方法有两种：
1．根据中心天体的质量和半径求中心天体表面的重力加速度
以中心天体为地球为例，重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力并非地球对物体的万有引力，它只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，如图所示．
实际上因地球自转而导致的重力和万有引力的差别很小，忽略这种差别时，物体的重力就等于万有引力，即
地球表面：G2＝mg 地球表面高h处：GMmRMmR＋h2＝mgh
式中M、R分别为地球的质量和半径，g、gh分别为地球表面和地球表面高h处的重力加速度，
解得g＝G2，gh＝GMRMR＋h2
g?R＋h?2
进一步可得＝??.
gh?R?
2．根据在其他星体表面及其附近的抛体运动的规律求重力加速度
其他星体表面及其附近的抛体运动，如平抛运动和竖直上抛运动、自由落体运动与地球表面上抛体运动规律相同．
1
【典例1】 设地球为均匀球体，半径为R，质量为M，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，地球两极重力加速度为g1，赤道重力加速度为g2.则( )
A．g1＝g2＝G2 B．g1＝G2>g2＝G2－ωR C．g2＝G2>g1＝G2－ωR D．g1＝g2＝G2＋ωR
【解析】 对极地上的物体有G2＝mg1，解得g1＝G2，对赤道上物体，有G2－mg2＝mωR，解得g2＝G2－ωR，选项B正确．
【答案】 B
【典例2】 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ C.?
MRMRMRMRMR2
2
MR2
MmRMRMmR2
MR2
dRB．1＋ D.?
dR?R－d?2
??R??R?2
??R－d?
M434
【解析】 在地球表面mg＝G2m，又M＝ρπR，解得g＝πGρR.因为球壳对球内物
R33
体的引力为零，所以在深为d的矿井内mg′＝G4g′R－dd＝πGρ(R－d)，所以＝＝1－. 3gRR【答案】 A
M′
R－d2
3
m，又M′＝ρπ(R－d)，解得g′
4
3
因为“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的1/k倍，半径为地球半径的1/q倍，则“高锟星”表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值为( )
A．q/k C．q/k
2
B．k/q D．k/q
2
2
GM地GM高g高M高r21q2地2
解析：g地＝2，g高＝2，所以＝·2＝·q＝，选项C正确．
r地r高g地M地r高kk答案：C
2
一质量为1.6 kg物体在地球表面重16 N，放在以加速度a＝5 m/s加速上升的火箭舱内，用台秤测量时，发现视重是9 N，不计地球自转影响，则火箭此时离地面的高度为地球半径R的( )
A．2倍 C．4倍
B．3倍 D．一半
解析：在上升的火箭舱内F1－mg′＝ma，F1大小等于视重9 N，解得mg′＝1 N，又mg＝16 N，故
g′?R?21
＝??＝，解得h＝3R. g?R＋h?16
答案：B
3