和差化积公式在三角函数中的综合运用
和差化积公式与积化和差公式是两角和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于和差化积公式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利用两角和差正余弦三角函数公式展开运算，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如cos??cos?，，将这两个角度关系代入上式，得到
22??????，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械cos??cos??2sinsin22记忆的，也没有这种必要，因为在解题中不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中尝试运用公式另辟
?????2????2、?????????新解法而对公式运用达到灵巧熟练的地步。从公式的推导过程可见角度恒等式?????2????2、
22组公式便可以熟练、快速而准确的导出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。
?????????是和差关系向乘积关系转化的关键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这两
和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的运用，特别是在三角求值问题中和边角关系复杂的三角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决的问题能顺利解决，还能得到更一般的结论，这无疑对探索相关一类问题的一般解法具有重要意义。下面将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适用范围。
一．在三角求值问题中的运用．
例1：实数x,y,z满足关系：sinx?siny?asinz?cosx?cosy?acosz?0(a为正数). (Ⅰ)求
证：T(x,y,z)?tan(x?y?z)?tanxtanytanz为定值的充要条件是a?1. (Ⅱ)设
f(x,y,z)?tan(x?y?z)?(a2?2)tanxtany，求这样的a，使得f(x,y,z)??1.
tanz?sinx?siny??asinz． ?cosx?cosy??acosz?(a)(b)（Ⅰ）证明：（1）必要性：
(a)sinx?sinyx?y2tanz?tanz，即tan得． ?tanz．tan(x?y)?(b)cosx?cosy21?tan2z因此，
tan(x?y)?tanz3tanz?tan3ztan(x?y?z)??
1?tan(x?y)tanz1?3tan2z（1-1）
另外，
x?y1?tan2z2． cos(x?y)??21?tanz2x?y1?tan21?tan22（1-2）
(a)?(b)得
2a2cos(x?y)??1
2（1-3）
为了书写方便，以下出现tanz的地方简记为s． 由（1-2）和（1-3）得
1?s2a21a211?s2cosxcosy???与sinxsiny???．
2(1?s2)42422(1?s2)
以上两式相除，得到
sinxsinya2?4?a2s2tanxtany??.
cosxcosya2?(a2?4)s2（1-4）
联合（1-1）和（1-4）可得
T(x,y,z)?tan(x?y?z)?tanxtanytanz
3s?s3a2?4?a2s2??2s.1?s2a?(a2?4)s2 （1-5）
上式为定值，则必等于0．即有
a?0，则a?1，必要性得证；
a2?4??3． 2a（2）充分性：若a?1，由（1-5）知T(x,y,z)?tan(x?y?z)?tanxtanytanz?0．充分性显然成立． （Ⅱ）解：记t?tan2z，k?a2．由（1-3）知0?a2?4，即0?k?4. 设
f(x,y,z)?h(t)?3?tk?4?kt?(2?k)，t?0． 1?3tk?(k?4)t
818(2?k)211k(2?k)h(t)?????．
31?3tk?4(k?4)t?k3k?4
32(1?k)?(2k?5)t?1?(t?1)88(k?2)2h(t)???．
(3t?1)2[(k?4)t?k]2(3t?1)2[(k?4)t?k]2'下面首先考虑一系列可能成为h(t)在(0,??)的最小值的点：
对应的函数值：
t?0?0,t???,t?1.
h(0)?limh(t)?3?t?0?0(2?k)(k?4)1k，h(??)?limh(t)??(2?k)；h(1)?1?k．
t???k3k?4分别将以上各式代入不等式h(t)??1，解不等式组：h(0)??1且h(??)??1且h(1)??1，并注意0?k?4，得
5?17?k?2.
21?1??k?10k?17??1，解不等式并与上述k的解因此，t?在函数h(t)定义域中，而h???5?2kk?15?2k??集取交集得 5?17?k?1，即5?17?a?1．
??1??例2：设函数f(x)?sin(2x?)cos2x?sin(x?)cosx?sin(2x?)sin(2x?). (Ⅰ)
332631解关于x的不等式2f(x)?cos22x?.
4(Ⅱ)定义在R上的函数g(x)和常数?(?????,??)满足关系式g(x)g(x??)?2f(x)?一个的解析式和对应的?值. 解：（Ⅰ）首先化简f(x)的表达式．
2.试求g(x)42
1?1????1????f(x)?sin(2x?)(1?cos2x)??sin(2x?)?sin???cos?cos(4x?)?232?33?4?62?
1????13sin(4x?)?sin?sin4x?,4?33?8??41??cos(4x?)46?
12f(x)?cos22x?，即
4
?1cos(4x?)??cos4x，
62?12)sin6?2?111?6?21sin(4x?)??，sin(4x?)?， ??，21221241222sin(4x??由三角函数图像知，以上不等式等价于?为
17?11?5??2k??4x???2k?(k?Z)，于是原不等式的解121212?2f(x)??8?k??k??x??(k?Z)． 232(Ⅱ)
21?2?2?115??sin(4x?)???cos(2x??)sin(2x??). 42?32?2424即
g(x)g(x??)?cos(2x?11?5?)sin(2x?)． 2424下面说明g(x)的两种不同表达式： （1）g(x)??cos(2x?（2）g(x)??sin(2x?11?5?3?5?或； )，则g(x??)??sin(2x?)，于是???2424885?11?5?3?或. )，则g(x??)??cos(2x?)，于是???242488???例3：设函数f(x)?cos(?x??)满足关系式：f(x)?3f(x??)?sin?2x??，其中?是与x无关的常数，
6??且cos??1. （Ⅰ）求?的值.
??????（Ⅱ）解关于x的不等式f(2x)?f?x???f??.
3???3????解：设f(x)?sin(2x??)，则sin(2x??)?3sin(2x???2?)?sin?2x??，
6?? 按sin(?3sin(2x???2?)?2cos(2x??)的两种不同取值分析如下：
122?)sin(??). 122122??????（1）若sin(??35??)?，注意sin??1，得????4k?(k?Z). 122263
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