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图2 图3
整理，得 32
3
m＝4．解得 m
2
．所以 2 3m 2 2 3 ．
3
所以点 C的坐标为 (2 2
3, 8 3 ) （如图 3），或 (2 2 3, 8 3 ) （如图 4）．
3
3 图4
考点伸展
第（ 1）题可以设抛物线的顶点式： 由点 O(0,0),
A(4 ，0) ， B( 2,4 3
) 的坐标，可知点 B 是抛物线的顶点．
4 3
3
可设 y a( x
2)2
，代入点 O(0,0) ，得 a
3 ．
3
3
例 33
2014
年湖南省永州市中考第 25 题
2
如图 1，抛物线 y＝ ax ＋ bx＋ c（ a≠0）与 x 轴交于 A( － 1, 0) ， B(4, 0) 两点，与 y 轴
交于点 C(0, 2) ．点 M( m, n) 是抛物线上一动点， 位于对称轴的左侧， 并且不在坐标轴上． 过点 M作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM交 y 轴于点 F．
（ 1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （ 2）当 S△ MFQ∶ S△ MEB＝ 1∶3 时，求点 M的坐标．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名 “ 14 永州 25”，拖动点 M在抛物线左半侧上运动， 观察面积比的
度量值，可以体验到，存在两个时刻，△
MEB的面积等于△ MFQ面积的 3 倍．
思路点拨
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1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．把△ MFQ和△ MEB的底边分别看作 三角形高的比， 底边的比（用
MQ和 ME，分别求两个
含 m的式子表示），于是得到关于 m的方程．
3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个
方程，得到两个符合条件的解．
图文解析
（ 1）因为抛物线与
x
轴交于
A
( －1, 0) ， (4, 0)
代入点 C(0, 2) ，得 2＝－ 4a．解得 a
1 2 1 x2 2
B
两点，设
y a x
＝ ( ＋ 1)( －4) ．
x
．所以
y
1
( x 1)( x 4)
3
2
x 2
1 ( x 3 )2 25 ．
3 25 顶点坐标为 ( ， )．
2 8
（ 2）如图 2，已知 M( m, n) ，作 MN⊥ x 轴于 N．
由
2 2 2
8
FQ
= MN，得FQ= n ．所以 FQ = mn ． MQ BN m 4 m 4 m
x
因为抛物线的对称轴是直线
由于 S
3
2
，所以 ME＝ 2( 3 m) 3 2m ．
m
△ MFQ
＝
2 m2 n ，
4 m
1 FQ MQ＝ 1 2
mn
m
＝ 1
S△ MEB＝ ME MN ＝(3
2 2
所以当 S
1
1
2 4
2
2m) n ，
△ MFQ
2
2m n ∶ ＝ 1∶3． △ MEB
(3 2m)n ∶S ＝1∶3 时， 4 m
整理，得 m＋ 11m－12＝ 0．解得 m＝1，或 m＝－ 12． 所以点 M的坐标为 (1, 3)
或 ( － 12, －88) ．
图 2
考点伸展
第（ 2）题 S ∶S ＝ 1∶ 3，何需点 M一定要在抛物线上？
△MFQ△MEB
从上面的解题过程可以看到， △
MFQ
与△
MEB
的高的比 FQ
=
MN
m 与 n 无关，两条底边 4 m
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的比
MQ
ME
=
m 也与 n 无关． 3 2m
3
如图 3，因此只要点
与点
＝ 在直线的左侧，且点
M关于直线
对称，点
x
M
M不在坐
标轴上，就存在
S E
∶ S
＝1∶ 3
，点 M的横坐标为
2
1（如图
3）或－ 12（如图
4）．
△ MFQ
△ MEB
图3 图4
§1．6 因动点产生的相切问题
课前导学
一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：
R、 r 、 d，第二步分类列方程，第
三步解方程并验根．
第一步在罗列三要素
R、r 、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，
不确定的要素要用
含有 x 的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．
二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：
R 和 d，第二步列方程，第三步
解方程并验根．
第一步在罗列两要素 R和 d 的过程中， 确定的要素罗列出来以后， 不确定的要素要用含
有 x 的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时
d＝ R列方程．
如图 1，直线 y4
x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，圆 O的半径为 1，点 C在 y
3
轴的正半轴上，如果圆
既与直线 相切，又与圆 相切，求点 的坐标．
“既??，又??”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．C AB O C
假设圆 C与直线 AB相切于点 D，设 CD＝ 3m， BD＝ 4m， BC＝ 5m，那么点 C的坐标为－ 5m) ．
罗列三要素：对于圆
O，r ＝ 1；对于圆 C，R＝ 3m；圆心距 OC＝4－ 5m．
分类列方程：两圆外切时，
4－ 5m＝ 3m＋ 1；两圆内切时， 4－ 5m＝3m－ 1．
把这个问题再拓展一下，如果点 C在 y 轴上，那么还要考虑点 C在 y 轴负半轴．
相同的是，对于圆
O， r ＝1；对于圆 C， R＝3m；不同的是，圆心距 OC＝5m－ 4．
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(0,4
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图 1
例 42 2014 年湖南省衡阳市中考第 27 题
如图 1，直线 AB与 x 轴交于点 A( － 4, 0) ，与 y 轴交于点 B(0, 3)
以每秒 1 个单位长度的速度沿直线
．点 P 从点 A出发，
AB向点 B 移动．同时将直线 y
3 x 以每秒 0.6 个单位长 4
度的速度向上平移，交
于点 ，交 于点 ，设运动时间为 （0＜ ＜ 5）秒．
t OAC OB D t
（ 1）证明：在运动过程中，四边形 总是平行四边形；
ACDP
（ 2）当 t 取何值时，四边形
ACDP为菱形？请指出此时以点 D为圆心、 OD长为半径的
圆与直线 AB的位置关系并说明理由．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名 “ 14 衡阳 27”，拖动点 P 运动，可以体验到， 当平行四边形 ACDP
是菱形时，圆 D与直线 AB恰好相切．
思路点拨
1．用含 t 的式子把线段
OD、 OC、CD、 AP、AC的长都可以表示出来．
2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．
3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．
图文解析
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