2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

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图2 图3

整理,得 32

3

m=4.解得 m

2

.所以 2 3m 2 2 3 .

3

所以点 C的坐标为 (2 2

3, 8 3 ) (如图 3),或 (2 2 3, 8 3 ) (如图 4).

3

3 图4

考点伸展

第( 1)题可以设抛物线的顶点式: 由点 O(0,0),

A(4 ,0) , B( 2,4 3

) 的坐标,可知点 B 是抛物线的顶点.

4 3

3

可设 y a( x

2)2

,代入点 O(0,0) ,得 a

3 .

3

3

例 33

2014

年湖南省永州市中考第 25 题

2

如图 1,抛物线 y= ax + bx+ c( a≠0)与 x 轴交于 A( - 1, 0) , B(4, 0) 两点,与 y 轴

交于点 C(0, 2) .点 M( m, n) 是抛物线上一动点, 位于对称轴的左侧, 并且不在坐标轴上. 过点 M作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q,交抛物线于另一点 E,直线 BM交 y 轴于点 F.

( 1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标; ( 2)当 S△ MFQ∶ S△ MEB= 1∶3 时,求点 M的坐标.

图 1

动感体验

请打开几何画板文件名 “ 14 永州 25”,拖动点 M在抛物线左半侧上运动, 观察面积比的

度量值,可以体验到,存在两个时刻,△

MEB的面积等于△ MFQ面积的 3 倍.

思路点拨

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1.设交点式求抛物线的解析式比较简便.

2.把△ MFQ和△ MEB的底边分别看作 三角形高的比, 底边的比(用

MQ和 ME,分别求两个

含 m的式子表示),于是得到关于 m的方程.

3.方程有两个解,慎重取舍.解压轴题时,时常有这种“一石二鸟”的现象,列一个

方程,得到两个符合条件的解.

图文解析

( 1)因为抛物线与

x

轴交于

A

( -1, 0) , (4, 0)

代入点 C(0, 2) ,得 2=- 4a.解得 a

1 2 1 x2 2

B

两点,设

y a x

= ( + 1)( -4) .

x

.所以

y

1

( x 1)( x 4)

3

2

x 2

1 ( x 3 )2 25 .

3 25 顶点坐标为 ( , ).

2 8

( 2)如图 2,已知 M( m, n) ,作 MN⊥ x 轴于 N.

2 2 2

8

FQ

= MN,得FQ= n .所以 FQ = mn . MQ BN m 4 m 4 m

x

因为抛物线的对称轴是直线

由于 S

3

2

,所以 ME= 2( 3 m) 3 2m .

m

△ MFQ

2 m2 n ,

4 m

1 FQ MQ= 1 2

mn

m

= 1

S△ MEB= ME MN =(3

2 2

所以当 S

1

1

2 4

2

2m) n ,

△ MFQ

2

2m n ∶ = 1∶3. △ MEB

(3 2m)n ∶S =1∶3 时, 4 m

整理,得 m+ 11m-12= 0.解得 m=1,或 m=- 12. 所以点 M的坐标为 (1, 3)

或 ( - 12, -88) .

图 2

考点伸展

第( 2)题 S ∶S = 1∶ 3,何需点 M一定要在抛物线上?

△MFQ△MEB

从上面的解题过程可以看到, △

MFQ

与△

MEB

的高的比 FQ

=

MN

m 与 n 无关,两条底边 4 m

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的比

MQ

ME

=

m 也与 n 无关. 3 2m

3

如图 3,因此只要点

与点

= 在直线的左侧,且点

M关于直线

对称,点

x

M

M不在坐

标轴上,就存在

S E

∶ S

=1∶ 3

,点 M的横坐标为

2

1(如图

3)或- 12(如图

4).

△ MFQ

△ MEB

图3 图4

§1.6 因动点产生的相切问题

课前导学

一、圆与圆的位置关系问题,一般无法先画出比较准确的图形. 解这类问题,一般分三步走,第一步先罗列三要素:

R、 r 、 d,第二步分类列方程,第

三步解方程并验根.

第一步在罗列三要素

R、r 、d 的过程中,确定的要素罗列出来以后,

不确定的要素要用

含有 x 的式子表示.第二步分类列方程,就是指外切与内切两种情况.

二、直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形. 解这类问题,一般也分三步走,第一步先罗列两要素:

R 和 d,第二步列方程,第三步

解方程并验根.

第一步在罗列两要素 R和 d 的过程中, 确定的要素罗列出来以后, 不确定的要素要用含

有 x 的式子表示.第二步列方程,就是根据直线与圆相切时

d= R列方程.

如图 1,直线 y4

x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,圆 O的半径为 1,点 C在 y

3

轴的正半轴上,如果圆

既与直线 相切,又与圆 相切,求点 的坐标.

“既??,又??”的双重条件问题,一般先确定一个,再计算另一个.C AB O C

假设圆 C与直线 AB相切于点 D,设 CD= 3m, BD= 4m, BC= 5m,那么点 C的坐标为- 5m) .

罗列三要素:对于圆

O,r = 1;对于圆 C,R= 3m;圆心距 OC=4- 5m.

分类列方程:两圆外切时,

4- 5m= 3m+ 1;两圆内切时, 4- 5m=3m- 1.

把这个问题再拓展一下,如果点 C在 y 轴上,那么还要考虑点 C在 y 轴负半轴.

相同的是,对于圆

O, r =1;对于圆 C, R=3m;不同的是,圆心距 OC=5m- 4.

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(0,4

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图 1

例 42 2014 年湖南省衡阳市中考第 27 题

如图 1,直线 AB与 x 轴交于点 A( - 4, 0) ,与 y 轴交于点 B(0, 3)

以每秒 1 个单位长度的速度沿直线

.点 P 从点 A出发,

AB向点 B 移动.同时将直线 y

3 x 以每秒 0.6 个单位长 4

度的速度向上平移,交

于点 ,交 于点 ,设运动时间为 (0< < 5)秒.

t OAC OB D t

( 1)证明:在运动过程中,四边形 总是平行四边形;

ACDP

( 2)当 t 取何值时,四边形

ACDP为菱形?请指出此时以点 D为圆心、 OD长为半径的

圆与直线 AB的位置关系并说明理由.

图 1

动感体验

请打开几何画板文件名 “ 14 衡阳 27”,拖动点 P 运动,可以体验到, 当平行四边形 ACDP

是菱形时,圆 D与直线 AB恰好相切.

思路点拨

1.用含 t 的式子把线段

OD、 OC、CD、 AP、AC的长都可以表示出来.

2.两条直线的斜率相等,这两条直线平行.

3.判断圆与直线的位置关系,就是比较圆心到直线的距离与半径的大小.

图文解析

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