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图3
图4 图5
（ 3）如图 4，过点 D作 y 轴的垂线，垂足为
E．过点 A 作 x 轴的垂线交 DE于 F．
由 y＝m( x＋ 3)( x－ 1) ＝ m(x ＋ 1) 2－ 4m，得 D( －1, － 4m) ． 在 Rt△ OBC中， OB∶ OC＝1∶ 3m．
如果△ ADC与△ OBC相似，那么△ ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为 1∶3m． ① 如图 4，当∠ ACD＝ 90°时，
OA
OC ．所以 3 ED
3m1
．解得 m＝ 1．
此时
CA
CD
3 ．所以 ．所以△ CDA∽△ OBC． OC 3，
ED OB CD OB
OC
EC
CAOCm
② 如图 5，当∠ ADC＝ 90°时，
FA
FD ．所以 4m EC
2
．解得 m
ED 1 m
2 ．
2
此时
DA
DC
FD EC
3m 2 2 2 ，而 OB m
OC．因此△ DCA与△ OBC不相3 2 似．
2
综上所述，当 m＝ 1 时，△ CDA∽ △OBC．
考点伸展
第（ 2）题还可以这样割补：
如图 6，过点 P作 x 轴的垂线与
AC交于点 H．
由直线 AC： y＝－ 2x－ 6，可得 H( x, － 2x－6) ． 又因为 P( x, 2 x2＋4x－ 6) ，所以 HP＝－ 2x2－ 6x． 因为△ PAH与△ PCH有公共底边
HP，高的和为
A、 C两
点间的水平距离 3，所以
S＝ S△APC＝ S△ APH＋S△ CPH
＝ ( － 2x2－ 6x) 2 ＝ 3( x
3
3 ) 2 2
27 ． 4
图 6
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图2 图3
例 2
2014 年湖南省益阳市中考第 21 题
如图 1，在直角梯形
ABCD中， AB// CD， AD⊥ AB，∠ B＝60°，AB＝ 10，BC＝ 4，点 P 沿线
段 AB从点 A 向点 B运动，设 AP＝ x． 2·1·c·n·j ·y
（ 1）求 AD的长；
（ 2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出
x 的值；若不存在，请说明理由；
（ 3）设△ ADP与△ PCB的外接圆的面积分别为 S1 、S2 ，
若 S＝ S1＋ S2，求 S 的最小值 .
动感体验
图 1
请打开几何画板文件名“
14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB上运动，可以体验到，圆心
O的
运动轨迹是线段 BC的垂直平分线上的一条线段．观察 S随点 P 运动的图象，可以看到， S
有最小值，此时点
P看上去象是 AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨
1．第（ 2）题先确定△ PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（ 3）题理解△ PCB的外接圆的圆心 O很关键，圆心 O在确定的 BC的垂直平分线
上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上． 而 BP与 AP是相关的， 这样就可以以 AP为自变
量，求 S 的函数关系式．
图文解析
（ 1）如图 2，作 CH⊥ AB于 H，那么 AD＝ CH．
在 Rt△ BCH中，∠ B＝60°，BC＝ 4，所以 BH＝2， CH＝ 2 3 ．所
AD＝2 3．
以（ 2）因为△ APD是直角三角形，如果△ APD与△ PCB相似，那么PCB一定是直角三角 △
形．
① 如图 3，当∠ CPB＝ 90°时，AP＝ 10－ 2＝ 8． 所以
AP
＝
84 ＝ 3，而PC＝ ．此时△ 与△ 不相似．
AD
2 3 3 PB
3
APD
PCB
图4
② 如图 4，当∠ BCP＝ 90°时，BP＝ 2BC＝ 8．所以 AP＝2．
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所以
AP
＝ ＝ ．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP． AD 2 3 3
2
3
综上所述，当 x＝ 2 时，△ APD∽ △CBP．
（ 3）如图 5，设△ ADP的外接圆的圆心为 G，那么点 G是斜边 DP的中点．
设△ PCB的外接圆的圆心为 O，那么点 O在 BC边的垂直平分线上，设这条直线与
BC交
于点 E，与 AB交于点 F．
设 AP＝ 2m．作 OM⊥ BP于 M，那么 BM＝ PM＝5－ m． 在 Rt△ BEF中， BE＝ 2，∠ B＝ 60°，所以 BF＝ 4．
在 Rt△ OFM中， FM＝ BF－BM＝ 4－(5 － m) ＝m－ 1，∠ OFM＝ 30°， 所以
OM
＝
3 3
2
( m 1) ．
2
2
2
2
2
所以
＝
＋
＝
2
OB BM
OM (5 m)
2
2
1
3 (m
1) ．
2
2
在 Rt△ ADP中， DP＝ AD＋ AP＝ 12＋ 4m．所以 GP＝3＋ m．
1
2 2
2
于是 S＝S ＋ S ＝π( GP＋ OB)
＝
3
m2
(5 m)
21
(m 1)2 ＝
(7m2 3 113 ．
7
32m 85) ．
3
所以当 m
167
时， S 取得最小值，最小值为
图5 图6
考点伸展
关于第（ 3）题，我们再讨论个问题． 问题 1，为什么设
AP m
＝ 2 呢？这是因为线段
AB AP PM BM AP
＝ ＋ ＋＝＋2
BM
＝ 10．
这样 BM＝ 5－ m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求 S 的最小值．
问题 2，如果圆心 O在线段 EF的延长线上， S 关于 m的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O在线段 EF的延长线上时，不同的是 此时
FM＝ BM－ BF＝ (5 － m) － 4＝ 1－ m．
2＝
2OB BM OM (5 m)
＋
2＝
2
1 2
3 (1 m) ．这并不影响 S 关于 m的解析式．
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例 3
2015 年湖南省湘西市中考第 26 题
如图 1，已知直线 y＝－ x＋3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y＝－ x2＋bx＋ c
经过 A、 B两点，点 P 在线段 OA上，从 点 O出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；
同时，点 Q在线段 AB上，从点 A 出发，向点 B以每秒 2 个单位的速度匀速运动，连结 PQ，
设运动时间为 t 秒．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）问：当 t 为何值时，△ APQ为直角三角形； （ 3）过点 P作 PE// y 轴，交 AB于点 E，过点 Q作 QF// y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF// PQ时，求点 F 的坐标；
（ 4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、 BM、 MQ，问：是
否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M为顶点的三角形与以 O、 B、
P为顶点的三角形相似？若存在，请求出
在，请说明理由．
t 的值；若不存
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA上运动，可以体验到，△ APQ有
两个时刻可以成为直角三角形，四边形
EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△
MBQ与△
BOP有一次机会相似．
思路点拨
1．在△ APQ中，∠ A＝ 45°，夹∠A 的两条边 AP、AQ都可以用 t 表示，分两种情况讨论
直角三角形 APQ．
2．先用含 t 的式子表示点
P、Q的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PE＝ QF列方程
就好了．
3．△ MBQ与△ BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．
图文解析
（ 1）由 y＝－ x＋ 3，得 A(3, 0) ，B(0, 3) ． 将 (3, 0)
、 (0, 3)
分别代入
＝－ 2＋
＋ ，得
A
B y
x
bx c
9 3b c 0, 解得 b c 3. c
2,
3.
所以抛物线的解析式为
y＝－ x2＋ 2x＋ 3．
（ 2）在△ APQ中，∠ PAQ＝ 45°，AP＝ 3－ t ， AQ＝ 2 t ．
分两种情况讨论直角三角形
APQ：
① 当∠ PQA＝ 90°时，AP＝ 2 AQ．解方程 3－ t ＝ 2t ，得 t ＝ 1（如图 2）．
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