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② 当∠ QPA＝ 90°时，AQ＝ 2 AP．解方程 2 t ＝ 2 (3 － t ) ，得 t ＝1.5 （如图 3）．
图2
图3
（ 3）如图 4，因为 PE// QF，当 EF// PQ时，四边形 EPQF是平行四边形． 所以 EP＝ FQ．所以 yE－ yP＝ yF－yQ．
因为 xP＝t ，xQ＝ 3－ t ，所以 yE＝ 3－ t ，yQ＝ t ，yF＝－ (3 －t ) ＋ 2(3 －t ) ＋ 3＝－ t ＋ 4t ．
2 2
因为 yE－yP＝ yF－ yQ，解方程 3－ t ＝ ( － t 2＋ 4t ) － t ，得 t ＝ 1，或 t ＝ 3（舍去）．所以点
F 的坐标为 (2, 3) ．
2
图 4
2
图 5
（ 4）由 y＝－ x ＋2x＋ 3＝－ ( x－ 1) ＋ 4，得 M(1, 4) ．
由 A(3, 0) 、 B(0, 3) ，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等， 由 (0, 3) 、 (1, 4) ，可知 、 两点间的水平距离、竖直距离相等，
AB＝ 3 2 ．
＝ ．
B
M
B M
BM 2
所以∠ MBQ＝∠ BOP＝ 90°．因此△MBQ与△ BOP相似存在两种可能： ①当
BM
BQ
OB 时， OP
3 2
2
3
2t t
．解得 t
9 （如图 5）．
4
②当
BM
BQ
OP 时， OB
2
t
．整理，得 t 2－ 3t ＋ 3＝0．此方程无实根．
3 2
2t 3
考点伸展
第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由(
P t
,0)，(
E t
, 3－ ) ，Q(3－ , )，按照 →
t
t
t
P E
方向，将点 Q向上平移，得 F(3 － t , 3) ．再将 F(3 －t , 3) 代入 y＝－ x2＋ 2x＋3，得 t ＝1，或 t
＝3．
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§1． 2 因动点产生的等腰三角形问题
课前导学
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段 AB＝ 5 厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是
什么？
2．已知线段 AB＝ 6 厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹
是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
C．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ ABC是等腰三角形，那么存在
① AB＝ AC， ② BA＝ BC， ③ CA＝ CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，
可以使得
解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ ABC的∠ A（的余弦值） 是确定的， 夹∠ A 的两边 AB和 AC可以用含 x 的式子表示
出来，那么就用几何法．
① 如图 1，如果 AB＝ AC，直接列方程； ② 如图 2，如果 BA＝ BC，那么 AC
1
AB cos A ；
③如图 3，如果 CA＝CB，那么
1
2
AB AC cos A ．
2
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来， 那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1
图2 图3
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例 9
2014
1
年长沙市中考第 26 题
如图 1，抛物线 y＝ ax2＋bx＋ c（ a、b、c 是常数， a≠ 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)
和 ( a , ) 两点，点 P在该抛物线上运动，以点
16
（ 1）求 a、 b、c 的值；
P 为圆心的⊙ P 总经过定点 A(0, 2) ．
（ 2）求证：在点 P 运动的过程中，⊙ P始终与 x 轴相交；
（ 3）设⊙ P 与 x 轴相交于 M( x1, 0) 、 N( x2, 0) 两点，当△ AMN为等腰三角形时，求圆心
P的纵坐标．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动， 可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN存在五种情况．
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙ 2．等腰三角形存在五种情况，点
＝NM时，点 P的纵坐标是相等的．
P在 x 轴上截得的弦长 MN＝ 4 是定值． P
的纵坐标有三个值，根据对称性，
AMN MA MN NA
＝ 和
图文解析
（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0) ，所以 y＝ax2．所以 b＝0， c＝ 0． 将 ( a ,
1
) 代入 y＝ax，得
2
1
a ．解得 a
2
1 （舍去了负值） ．
16
16
（ 2）抛物线的解析式为 y
4
x2 ，设点 P的坐标为 1 ( x, 4
1 x2 ) ．
4
已知 A(0, 2) ，所以 PA
x 2
( 1 x2
4
2)
2
而圆心 P 到 x 轴的距离为
1
1 x4 4 ＞ x2 ． 16 4
1
x2 ，所以半径 PA＞圆心 P 到 x 轴的距离．
4
所以在点 P 运动的过程中，⊙ P始终与 x 轴相交．
H，那么 PH垂直平分 （ 3）如图 2，设 MN的中点为 MN． 在 △ 中， 21 2 1 4 2 2
4，PH Rt PMH PM PA x ( x)
16 4
所以 MH＝ 2．因此 MN＝ 4，为定值．
MH＝ ． 1 4
2
x ，所以 4 16
等腰△ AMN存在三种情况：
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① 如图 3，当
＝ 时，点 为原点 重合，此时点 的纵坐标为 0．
AM AN P O P
图 2
② 如图 4，当 MA＝ MN时，在 Rt △AOM中， OA＝ 2， AM＝ 4，所以
图 3
OM＝ 2 3 ．
此时 x＝ OH＝ 2
3 2 ．所以点 P的纵坐标为 x2
4 时，根据对称性，点
1
1 (2 3 2)2
4
( 3 1)2 423．
如图 5，当
＝ 的纵坐标为也为 4 2 3 ．
NA NM P
图 4
图 5
③ 如图 6，当 NA＝ NM＝ 4 时，在 Rt△ AON中， OA＝ 2，AN＝ 4，所以 ON＝2 3 ． 此时 x＝ OH＝ 2 3 2 ．所以点 P 的纵坐标为
1
x2
4
1 (2 3 2)2 ( 4
3 1)2 4 23．
如图 7，当 MN＝MA＝ 4 时，根据对称性，点 P的纵坐标也为 4 2 3 ．
图 6
图 7
考点伸展
如果点 P 在抛物线 y
2
1 x 上运动， 以点 P为圆心的⊙ P 总经过定点 B(0, 1) ，那么在点 4
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