高中数学选修2-3学案:第2章-2.3-2.3.1含答案

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2.3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望

1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)

2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)

3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 离散型随机变量的数学期望 阅读教材P59~P60,完成下列问题. 1.定义

一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值对应的概率是p1,p2,…,pn,则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).

2.意义

刻画了离散型随机变量的平均取值水平.

1.下列说法正确的有________(填序号).

①随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化; ②随机变量的均值反映样本的平均水平;

③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4; ④随机变量X的均值E(X)=

x1+x2+…+xn

.

n

【解析】 ①错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.②错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确,由均值的性质可知.④错误,因为E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.

1

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【答案】 ③

2.已知离散型随机变量X的分布列为:

X P 则X的数学期望E(X)=________. 3313

【解析】 E(X)=1×+2×+3×=.

5101023

【答案】

2

3.设E(X)=10,则E(3X+5)=________.

【导学号:62980052】

【解析】 E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35. 【答案】 35

教材整理2 常见几种分布的数学期望 阅读教材P60例1以上部分,完成下列问题.

名称 公式 二点分布 E(X)=p 二项分布 E(X)=np 超几何分布 nME(X)= N

1

4,?,则E(X)的值为________. 1.若随机变量X服从二项分布B??3?14

【解析】 E(X)=np=4×=.

334

【答案】

3

2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是________.

【解析】 因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以 E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8. 【答案】 0.8

[质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1: 解惑:

1 3 52 3 103 1 10 2

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疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑:

[小组合作型]

二点分布与二项分布的数学期望

某运动员投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的数学期望; (2)求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.

【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 【自主解答】 (1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表:

X P 则E(X)=0.6.

(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3.

1.常见的两种分布的均值

设p为一次试验中成功的概率,则 (1)二点分布E(X)=p; (2)二项分布E(X)=np.

熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析

(1)相同点:一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点:

①随机变量的取值不同,二点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,1,2,…,n.

②试验次数不同,二点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.

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