高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
【考点自测】
x2y25
1．(2017·全国Ⅲ改编)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭
ab2x2y2
圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为______________． 123x2y2
答案 －＝1
45解析 由y＝
5b5x，可得＝.① 2a2
x2y2
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. x2y2
所以C的方程为－＝1.
45
x2y2
2．(2017·全国Ⅲ改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________． 答案
6 3
解析 由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝b1∴＝， a3a2－b2c∴e＝＝＝aa
b?2
1－??a?＝
1－?
2ab
＝a，解得a＝3b， a2＋b2?
1?26
＝. 33?
x2y2
3．(2018届阜宁中学质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2
k＋2k＋1的周长为8，则椭圆的离心率为________． 答案
1 2
解析 由已知及椭圆定义可得4a＝8，从而a＝2， c1
又c＝k＋2－?k＋1?＝1，所以e＝＝.
a2
x2y2
4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
73答案 210
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.
x2y2
5．(2018届江苏盐城中学调研)已知椭圆2＋＝1(a>3)的中心、右焦点、右顶点依次为O，F，
a3a2FG
G，直线x＝2与x轴交于H点，则取得最大值时，a的值为________．
OHa－3答案 2
解析 设半焦距为c，则c＝a2－3， 由题意得，
FGa－cc?c?21
＝2＝－?a?≤， OHaa4
c
c1
当＝时取等号， a2
又a2－c2＝3，所以a＝2.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
x2y2
例1 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2＝F1F2＝2，则该
ab椭圆的方程为________． x2y2
答案 ＋＝1
43
解析 ∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2，
x2y2
∴a＝2，c＝1，∴b＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
43
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
x2y2
跟踪训练1 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－
ab2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________． y2
答案 x－＝1
3
2
x2y2
解析 双曲线2－2＝1的一个焦点为F(2,0)，
ab则a2＋b2＝4，①
b
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
a由题意得</