高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
【考点自测】
x2y25
1．(2017·全国Ⅲ改编)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭
ab2x2y2
圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为______________． 123x2y2
答案 －＝1
45解析 由y＝
5b5x，可得＝.① 2a2
x2y2
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. x2y2
所以C的方程为－＝1.
45
x2y2
2．(2017·全国Ⅲ改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________． 答案
6 3
解析 由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝b1∴＝， a3a2－b2c∴e＝＝＝aa
b?2
1－??a?＝
1－?
2ab
＝a，解得a＝3b， a2＋b2?
1?26
＝. 33?
x2y2
3．(2018届阜宁中学质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2
k＋2k＋1的周长为8，则椭圆的离心率为________． 答案
1 2
解析 由已知及椭圆定义可得4a＝8，从而a＝2， c1
又c＝k＋2－?k＋1?＝1，所以e＝＝.
a2
x2y2
4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
73答案 210
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.
x2y2
5．(2018届江苏盐城中学调研)已知椭圆2＋＝1(a>3)的中心、右焦点、右顶点依次为O，F，
a3a2FG
G，直线x＝2与x轴交于H点，则取得最大值时，a的值为________．
OHa－3答案 2
解析 设半焦距为c，则c＝a2－3， 由题意得，
FGa－cc?c?21
＝2＝－?a?≤， OHaa4
c
c1
当＝时取等号， a2
又a2－c2＝3，所以a＝2.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
x2y2
例1 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2＝F1F2＝2，则该
ab椭圆的方程为________． x2y2
答案 ＋＝1
43
解析 ∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2，
x2y2
∴a＝2，c＝1，∴b＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
43
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
x2y2
跟踪训练1 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－
ab2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________． y2
答案 x－＝1
3
2
x2y2
解析 双曲线2－2＝1的一个焦点为F(2,0)，
ab则a2＋b2＝4，①
b
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
a由题意得
2b
＝3，② a2＋b2联立①②解得b＝3，a＝1，
y2
所求双曲线的方程为x－＝1.
3
2
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距x2y2
离是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率，则双曲线C的渐近线为________．
ab答案 y＝±3x
解析 圆E的圆心到原点的距离d＝32＋?4－m?2，
由此可得，当m＝4时，圆E上的点与原点O的最短距离是dmin＝3－1＝2， c
即双曲线的离心率为e＝＝2，
ac2－a2b
由此可得＝＝3，
aa
x2y2b
双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x＝±3x.
aba
x2y2
(2)(2018届无锡南菁高级中学质检)已知F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是
ab1
椭圆上一点，PF⊥x轴．若PF＝AF，则该椭圆的离心率是________．
4答案
3 4
解析 由题意得，A(a,0)，F(－c,0)． b2
∵PF⊥x轴，∴PF＝.
a1b21
∵PF＝AF，∴＝(a＋c)，
4a4即(3a－4c)(a＋c)＝0，
c3
∵a，c>0，∴3a－4c＝0，∴e＝＝.
a4
思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
x2y2跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝
ab4所截得的弦长为2，则C的离心率为________． 答案 2
b
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
a圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝3.