∴(S△PAB)max＝2.
思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围． x2y2
跟踪训练3 (2018届常州中学月考)如图，设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有
ab一个公共点P，且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. (1)解 设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)， y＝kx＋m，??22由?xy
＋＝1，22??ab
消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0， 即b2－m2＋a2k2＝0，
akmbm解得点P的坐标为?－b2＋a2k2，b2＋a2k2?.
??又点P在第一象限，且m2＝b2＋a2k2， 即m＝b2＋a2k2，
－a2kb2??，2故点P的坐标为?22222?. b＋ak??b＋ak
(2)证明 由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，
22
?－ak＋bk??b2＋a2k2?b2＋a2k2??2
2
所以点P到直线l1的距离d＝整理得d＝
a2－b2
1＋k2 .
，
b22222
b＋a＋ak＋2k
b2
因为ak＋2≥2ab，
k
22
所以
a2－b2
b2b＋a＋ak＋2k
2
2
22
≤
a2－b2b2＋a2＋2ab
＝a－b，
b
当且仅当k2＝时等号成立．
a
所以点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 题型四 定点、定值问题
x2y2
例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点M(32，2)，离
ab心率e＝
22
. 3
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M作两条直线与椭圆C分别交于相异两点A，B，若∠AMB的平分线与y轴平行，探究直线AB的斜率是否为定值．若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
22
22c2a－b8
解 (1)由e＝，得2＝2＝，
3aa9
x2y2
即a＝9b，故椭圆C的方程为2＋2＝1.
9bb
2
2
182
又椭圆过点M(32，2)，所以2＋2＝1，
9bbx2y2
解得b＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
364
2
(2)由题意知直线MA的斜率存在，设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题意知直线MA与MB的斜率互为相反数， 故直线MB的斜率为－k.
直线MA的方程为y－2＝k(x－32)， 即y＝kx＋2－32k，
??y＝kx＋2－32k，
联立方程组?x2y2
＋＝1，??364
消去y并整理得(9k2＋1)x2＋182k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有一个根为32， 所以另一根x1＝
182k?3k－1?
－32
9k2＋1
182?3k2－k?＝－32.
9k2＋1
182?3k2＋k?
同理可得x2＝－32，
9k2＋1
362k1082k2
因为x2－x1＝2，x＋x＝－62.
9k＋1219k2＋1又y2－y1＝－kx2＋2＋32k－(kx1＋2－32k) ＝－k(x2＋x1)＋62k＝
122k
， 9k2＋1
122k9k2＋1
y2－y11
所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．
x2－x1362k3
9k2＋1思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
跟踪训练4 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
m?(2)若l过点??3，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． (1)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，① 故xM＝
x1＋x2－kb9b＝2，yM＝kxM＋b＝2. 2k＋9k＋9
yM9
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
xMk所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB能为平行四边形．
m222?因为直线l过点?(b2－m2)>0，得k2m2>9b2－9m2， ?3，m?，由①中判别式Δ＝4kb－4(k＋9)·kk
m－m?2－9m2， 又b＝m－m，所以k2m2>9??3?3得k2>k2－6k，所以k>0.
所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3. 9
由(1)得OM的方程为y＝－x.
k设点P的横坐标为xP，
9??y＝－kx，k2m2±km2
由?得xP＝2，即xP＝. 29k＋813k＋9222??9x＋y＝m，
mm?3－k?，m?的坐标代入l的方程得b＝将点?， ?3?3因此xM＝
km?k－3?
.
3?k2＋9?
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM. km?k－3?±km
于是＝2×，
3?k2＋9?3k2＋9解得k1＝4－7，k2＝4＋7.
因为ki＞0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形． 题型五 探索性问题
x2y22
例5 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点ab2
?1，6?，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B
2??
为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.
(1)求椭圆C的方程； (2)求证：AP⊥OM；
→→(3)试问：OP·OM是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． x2y22(1)解 因为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab2所以a2＝2c2，所以a2＝2b2. 又因为椭圆C过点?1，
?
136?，所以2＋2＝1，
a2b2?x2y2
所以a＝4，b＝2，所以椭圆C的方程＋＝1.
42
2
2
(2)证明 由题意知直线BM的斜率存在，设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，
设P(x1，y1)，
x2y2
将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中，
42化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0， 4k2－2
解得x1＝2，x＝2，
2k＋12
4k2－2－4k?－4k?，所以y1＝k(x1－2)＝2，从而P2.
2k＋1?2k＋12k2＋1?