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Èô?(x)ÊÇ·ÇÏßÐÔº¯Êý£¬Ôò?(x)=0³ÆÎªÒ»Ôª·ÇÏßÐÔ·½³Ì Èô?(x)ÊǶàÏîʽº¯Êý£¬Ôò?(x)=0³ÆÎª´úÊý·½³Ì Èô?(x)ÊǺ¬³¬Ô½º¯Êý£¬Ôò?(x)=0³ÆÎª³¬Ô½·½³Ì
Èô?(x*)=0£¬Ôò³Æx*Ϊ·½³Ì?(x)=0µÄ¸ù£¬»ò³ÆÎªº¯Êý?(x)µÄÁãµã¡£
Èô?(x)=(x-x*)kg(x), g(x*)?0£¬Ôò³Æx*Ϊ·½³Ì?(x)=0µÄkÖØ¸ù£¬»ò³ÆÎªº¯Êý?(x)µÄkÖØÁãµã¡£ x*Ϊº¯Êý?(x)µÄkÖØÁãµã ? ?(x*)=??(x*)=¡=?(k-1)(x*)=0, ?(k)(x*)?0
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ÎÊÌ⣺É躯Êý?(x)ÔÚ[a, b]ÉÏÁ¬Ðø£¬ÇÒ?(a) ?(b)<0£¬Ôò?(x)=0ÔÚ[a, b]ÄÚÖÁÉÙÓÐÒ»Áãµã£¬[a, b]³ÆÓиùÇø¼ä£¬Èô?(x)=0ÔÚ[a, b]ÄÚÓÐΨһ¸ùx*£¬ÇóÂú×㾫¶È?ÒªÇóµÄ½üËÆ¸ù.¡£
¶þ·Ö·¨µÄ»ù±¾Ë¼Ï룺-----¼ÆËãÖÐͨ¹ý¶Ô·ÖÇø¼ä¡¢ËõÐ¡Çø¼ä·¶Î§µÄ²½ÖèËÑË÷ÁãµãµÄλÖá£
¶þ·Ö·¨µÄ¼ÆËã¹ý³ÌÈçÏ£º(½áºÏͼ, ½Ìѧ) (1) °Ñ[a,b]¶þµÈ·Ö£¬·Öµãx0=(a+b)/2,
1
Èô?(x0)=0, Ôòʵ¸ùx*=x0£¬¼ÆËã½áÊø£¬·ñÔò
Èô?(x0) ?(a)<0, Ôòx*?(a,x0), È¡a1=a,b1=x0, ·ñÔòx*?(x0,b), È¡a1=x0,b1=b, µÃÓиùÇø[a1,b1], Æä³¤¶ÈÊÇÔ[a,b]µÄÒ»°ë¡£
(2) ÖØ¸´ÉÏÊö²½Ö裬°Ñ[a1,b1]¶þµÈ·Ö£¬·Öµãx1=(a1+b1)/2, Èô?(x1)?0, ÓֵĵÃÓиùÇø[a2,b2], Æä³¤¶ÈÊÇ[a1,b1]µÄÒ»°ë¡£
(3) Èç´Ë·´¸´ÏÂÈ¥£¬Èô?(xk)?0, Ôò¿ÉµÄÒ»ÁÐÓиùÇø¼ä£º [a,b]?[a1,b1] ? [a1,b1] ?¡? [ak,bk] ?¡
ÆäÖÐ[ak,bk]µÄ³¤¶ÈÊÇ[ak-1,bk-1]µÄÒ»°ë, lin(bk-ak)=0, limxk=x*
ʵ¼Ê¼ÆËãʱ£¬¿É°´¾«¶È?ÒªÇó½áÊø¶þ·Ö·¨¹ý³Ì£º (1) µ±?bk+1-ak+1?
(2) Òª?x*-xk?, Ö»Ðè
b?aln(b?a)?ln? ¼´ k+1> ??,ln22k?1¡à ×÷k+1´Î¶þ·Ö·¨£¬¼ÆËã½áÊø¡£
Àý Óöþ·Ö·¨Çó½â?(x)=x4-x-10.27=0ÔÚÇø¼ä£¨1, 2£©Éϵĸù, ¾«È·µ½10-2¡£ ½â£º(1) ?(1)= -10, ?(2)=4 £¬ÓиùÇø¼ä[1, 2]
(2) x0=(1+2)/2=1.5, ?(1.5)= -6.707, ÓиùÇø¼ä[1.5, 2]
(3) x2=(1.5+2)/2=1.75, ?(1.75)= -2.641, ÓиùÇø¼ä[1.75, 2]
¡ ½á¹û¼û±í2.1
b7-a7¡Ö0.0078<10-2, ?x*-x7?=0.5?10-2, ¡àx*¡Öx=1.863
Àý Ö¤Ã÷ 1-x-sinx=0ÔÚ[0,1]ÄÚÓÐΨһʵ¸ù£¬Ê¹Óöþ·Ö·¨ÇóÎó²î²»´óÓÚ0.5?10-4µÄ¸ùÒª¶þ·Ö¶àÉٴΣ¿
½â£º(1) ?(x)= 1-x-sinx, ?(0)=1>0, ?(1)= -sin1<0, ¡à?(x)ÔÚ[0,1]ÄÚÓÐʵ¸ù; ÓÖ ÔÚ(0,1)ÄÚ ??(x)= -1-conx<0, ?(x)µ¥µ÷¼õÉÙ£¬¡à?(x) ÔÚ[0,1]ÄÚÓÐΨһʵ¸ù£¬
ln(b?a)?ln?ln(1?0)?ln(0.5?10?4)£¨2£©?=0.5?10£¬k+1>=¡Ý14.2788
ln2ln2-4
¡à Òª¶þ·Ö15´Î
¼ÆËã»úÉÏ»úʱ¶þ·Ö·¨µÄ¼ÆËã²½Ö裺------£¨¿ÎÍâÔĶÁ£© ¶þ·Ö·¨µÄÌØµã£º------£¨¿ÎÍâÔĶÁ£©
¡ì6.2 µü´ú·¨£¨Öð´Î±Æ½ü·¨£©
1. µü´ú·¨¼°Æä¼¸ºÎÒâÒå
2
ÎÊÌ⣺Èô?(x)=0ÔÚ[a, b]ÄÚÓÐÒ»¸ùx*£¬Çó?(x)=0Âú×㾫¶È? ÒªÇóµÄ½üËÆ¸ù.¡£
µü´ú·¨Ë¼Ïë·½·¨£º-----
(1) ½«?(x)=0ת»»³ÉµÈ¼ÛÐÎʽ£ºx=g(x), (g(x)³Æµü´úº¯Êý) (2) ¸ø¶¨³õÖµx0£¬¹¹Ôìµü´úÐòÁÐ: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. ¡
(3) limx k+1=limg(xk)=aʱµü´ú·¨ÊÕÁ²(·ñÔò·¢É¢), Ôòa¾ÍÊÇ·½³Ì?(x)=0µÄ¸ù¡£ k?? k??
ÔÚ¼ÆËãÖÐ, µ±?xk+1-xk? ʱȡa=xk+1Ϊ·½³ÌµÄ¸ù¡£
¼¸ºÎÒâÒå------(1) ½«Çó?(x)=0µÄ¸ùת»»³ÉÇó£ºy=x, y=g(x) µÄ½»µãP*(x, g(x)) (2) ¹¹ÔìµãÁУº{Pk (xk,g(xk))} ±Æ½ü½»µãP*(x, g(x)) (ͼ2-2)
Àý Çó?(x)=x5-2x-1=0ÔÚÇø¼ä£¨1, 2£©Äڵĸù, ÓÃ6λÓÐЧÊý×Ö¼ÆËã¡£
½â£º ?(1)= -2, ?(2)=27 £¬ÓÖÔÚ(1,2)ÄÚ ??(x)=5x4-2>0, ¡à?(x) ÔÚ(1,2)ÄÚÓÐΨһʵ¸ù£¬
(1) ½«x5-2x-1=0ת»»³É x=g(x)=52x?1, µÃµü´ú¹«Ê½£ºxk+1=52xk?1, k=0.1.2. ¡
È¡³õÖµx0=1.5, ¼ÆËãµÃ£ºx1=1.31951, ¡, x5=x6=1.29065 ¡à x*¡Ö1.29065 ÊÇËùÇóµÄ¸ù¡£
(2) Èô½«x5-2x-1=0ת»»³É x=0.5(x5-1) µÃµü´ú¹«Ê½£ºxk+1=0.5(x5k-1), k=0.1.2. ¡
È¡³õÖµx0=1.5, ¼ÆËã x1=3.29688, ¡, µü´ú·¨·¢É¢.
¶ÔÓÚ·½³Ì?(x)=0¹¹ÔìµÄ¶àÖÖµü´ú¸ñʽxk+1=g(xk)£¬ÔõÑùÅжϹ¹ÔìµÄµü´ú¸ñʽÊÇ·ñÊÕÁ²£¿ÊÕÁ²ÊÇ·ñÓëµü´úµÄ³õÖµÓйأ¿
2¡¢µü´ú·¨µÄÊÕÁ²Ìõ¼þºÍÎó²î¹À¼Æ
¶¨Àí Éèµü´úº¯Êýg(x)Âú×ã
(1) ¶ÔÈÎÒâx?[a,b]ÓÐ a¡Üg(x)¡Üb
(2) g(x)¿É΢£¬ÇÒ´æÔÚÕýÊýq<1£¬Ê¹¶ÔÈÎÒâx?[a,b]ÓÐ?g?(x)?¡Üq<1
Ôòµü´ú¹«Ê½xk+1=g(xk)¶ÔÈÎÒâ³õÖµx0?[a,b]¾ùÊÕÁ²ÓÚ·½³Ìx=g(x)ÔÚÇø¼ä[a,b]ÉϵÄΨһ¸ùx*£¬ÇÒÓÐÈçÏÂÎó²î¹À¼ÆÊ½
3