硕士研究生入学考试初试自命题科目试题
（试卷代号：A卷）
一、（本题20分）解方程
x?110010x?1625100x?354004x?4?0.
二、（本题20分）已知矩阵
?11?1?? A???111????1?11??矩阵X满足A?X?A?1?2X，其中A?是A的伴随矩阵，求矩阵X． 三、（本题20分）已知3维线性空间V有两组基：
(I){?1,?2,?3};(II){??3,?2?2,?3?1}
（1）求(I)到(II)的过渡矩阵；
（2）若向量?在基(I)下的坐标为(1,2,3)T，求?在基(II)下的坐标；
（3）定义线性变换A为：A(?1)??1,A(?2)?2?2,A(?3)?3?3??1，求A关于(I)、(II)的矩阵．
四、（本题20分）求一个正交变换化下列二次型为标准形：
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3
五、（本题20分）已知线性空间M2(K)的线性变换
?(X)?BTX?XTB，?X?M2(K),
?11?其中B???，线性子空间
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???xW???11???x21（1）求W的一个基；
?x12??x?x?0,x?K? ?22ijx22?11??（2）证明W是?的不变子空间；
（3）将?看成W上的线性变换，求W在(1)的基下的矩阵．
?k?nk?n?1?L?(2x)k(x?1)n，六、（本题15分）设k,n?N，f(x)?(x?1)?2x(x?1)证明：xk?1|(x?1)f(x)?(x?1)k?n?1．
七、（本题15分）设V为闭区间[a,b]上全体实函数构成的实向量空间，f1,L,fn?V, 则
f1,L,fn线性无关的充要条件是存在a1,L,an?[a,b]使得行列式det(fi(aj))?0.
八、（本题20分）设I是n阶单位矩阵，证明：对任何正整数m，总存在n阶实方阵X满足方程
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