19.(12分)2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善,郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量. (Ⅰ)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQ的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值;
(Ⅱ)如图是2018年11月的30天中AQI的分布,11月份仅有一天AQI在[170,180)内.
组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 分组 [50,80) [80,110) [110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260) [260,290) 天数 3 4 4 6 5 4 3 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,如果AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日去进行社会实践活动的概率;
②在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监
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测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到的AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望. 【解答】解:(Ⅰ)设重度污染区AQI的平均值为x,则 74×2+114×5+2x=118×9, 解得x=172;
(Ⅱ)①11月份仅有一天AQI在[170,180)内,则AQI小于180的天数为18天, 则该校周日去进行社会实践活动的概率为P=
=;
②由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3; 计算P(X=0)=
=
,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
∴X的分布列为:
X P 数学期望为E(X)=0×
2
0 +1×
2
1 2 +2×
3 +3×
=
.
=
,动
20.(12分)设M点为圆C:x+y=4上的动点,点M在x轴上的投影为N.动点P满足2点P的轨迹为E. (Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设E的左顶点为D,若直线l:y=kx+m与曲线E交于两点A,B(A,B不是左右顶点),且满足||=|
|,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.
【解答】解:(Ⅰ)设P(x,y),M(x0,y0), 则N(x0,0), ∴∵
,
,
,
- 22 - ∴x0=x,代入圆的方程得,
,
,
即,
故动点P的轨迹为E的方程为:
;
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知,D(﹣2,0), ∵
∴DA⊥DB,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
,
由消去y得:
(3+4k)x+8kmx+4m﹣12=0, ∴
,
,…①
222
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =
由DA⊥DB得:
,
即﹣y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4,…③ 由②③得:
把①代入④并整理得:7m﹣16km+4